2022-2022学年高中数学第一章集合与函数概念检测试题新人教A版必修.doc

第一章　集合与函数概念检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
选题明细表
知识点、方法
题号
集合
1,2,7,13,17
函数的概念与表示,映射
3,5,6
函数的单调性与奇偶性
4,8,9,10,15
函数最值
11,14,16
函数的综合应用
12,18,19,20,21,22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于(　C　)
(A){1,6} (B){1,5}
(C){2,4} (D){2,3}
解析:因为U={x∈N*|x<6}={1,2,3,4,5},
又A={1,3},B={3,5},
所以A∪B={1,3,5},
所以∁U(A∪B)={2,4}.
2.设集合A={0,1,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合A与B的关系为(　D　)
(A)A∈B (B)A=B
(C)B⊆A (D)A⊆B
解析:因为A={0,1,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},
所以B={0,1,2,3,4},
所以A⊆B.
3.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是(　D　)
(A)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|
(B)A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y=
(C)A=N,B=N*,f:x→y=|x-1|
(D)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2
解析:A中当x=0时,y=0∉B.同理B错,C中,当x=1时,y=0∉B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故D正确.
4.既是奇函数又在(0,+∞)上为增函数的是(　D　)
(A)y=x2 (B)y=
(C)y=x+ (D)y=x-
解析:A中y=x2是偶函数,B中=1-是非奇非偶函数,D中y=x-是奇函数且在(0,+∞)上为增函数,C中y=x+是奇函数,但x=与x=2时函数值相等,在(0,+∞)上不是增函数.
5.已知f(x)=则f[f(1)]等于(　C　)
(A)3 (B)13 (C)8 (D)18
解析:因为x≤1时,y=2x2+1,
所以f(1)=3,
所以f[f(1)]=f(3)=3+5=8.故选C.
6.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是(　A　)
(A)(1,] (B)[1,]
(C)(1,3] (D)[1,3]
解析:已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],可得0≤2x-1≤2,解得≤x≤,再由>0成立,解得x>1.综上,得1<x≤,故选A.
7.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　B　)
(A)1 (B)3 (C)7 (D)31
解析:因为x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝,
所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝, ｛-1,,2｝,故选B.
8.函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数的单调递增区间为(　B　)
(A)[0,+∞) (B)(-∞,0]
(C)(-∞,+∞) (D)[1,+∞)
解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以ax2-(2+a)x+1=ax2+(2+a)x+1,
化为(2+a)x=0,对于任意实数x恒成立,
所以2+a=0,
解得a=-2.
所以f(x)=-2x2+1,其单调递增区间为(-∞,0].故选B.
9.已知函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围是(　A　)
(A)(0,1] (B)(0,1)
(C)(0,2] (D)(0,2)
解析:由题意,解之得0<a≤1.
10.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(　D　)
(A)f(6)>f(7) (B)f(6)>f(9)
(C)f(7)>f(9) (D)f(7)>f(10)
解析:由y=f(x+8)为偶函数,可知y=f(x)的图象关于直线x=8对称,而y=f(x)在(8,+∞)上为减函数,则y=f(x)在(-∞,8)上为增函数,
所以f(9)=f(7)>f(6)=f(10).选D.
11.已知函数f(x)=x2-6x+8在[1,a]上的最小值为f(a),则实数a的取值范围为(　A　)
(A)(1,3] (B)(1,+∞)
(C)(1,5) (D)[3,5]
解析:将函数配方,f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,
所以函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,
因为函数f(x)=x2-6x+8在[1,a]上的最小值为 f(a),
所以1<a≤3,故选A.
12.已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4) 等于(　C　)
(A)10 (B)2 (C)0 (D)4
解析:因为f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,
所以f(1-1)=f(1+1)=f(2),
又因为f(x)是奇函数,
所以f(0)=0,所以f(2)=0,
因为f(1-3)=f(1+3),
所以f(4)=f(-2)=-f(2)=0,
又因为f(1-2)=f(1+2),
所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,
综上可知,f(2)=0,f(3)=-2,f(4)=0,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知集合A={2,m},集合B={1,m2},若A∪B={1,2,3,9},则实数m=　　　　. 
解析:因为集合A={2,m},集合B={1,m2},且A∪B={1,2,3,9},
所以或解得m=3.
答案:3
14.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数 f(x)= min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是　　　　. 
解析:
在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.
答案:6
15.已知函数f(x)=是奇函数,若函数 f(x) 在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析:设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-x2-2x,
因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=x2+2x(x<0),
所以m=2,
所以f(x)=
在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在[-1,1]上单调递增.
因为函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,
所以-1<a-2≤1,
所以1<a≤3.
答案:(1,3]
16.设函数f(x)=-2x2+4x在区间[m,n]上的值域是 [-6,2],则m+n的取值范围是　　　　. 
解析:由题意可得函数f(x)=-2x2+4x的对称轴为 x=1,
故当x=1时,函数取得最大值为2.
因为函数的值域是[-6,2],
令-2x2+4x=-6,可得x=-1,或x=3.
所以-1≤m≤1,1≤n≤3,
所以0≤m+n≤4,即m+n的取值范围为[0,4].
答案:[0,4]
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知f(x)=+的定义域为集合A,集合B={x|-a<x<2a-6}.
(1)求集合A;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
解:(1)由已知得即-2<x≤3,
所以A={x|-2<x≤3}.
(2)因为A⊆B,所以
解得a>,
所以a的取值范围是(,+∞).
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x≠1).
(1)判断并证明函数f(x)在(-1,+∞)的单调性;
(2)当x∈[1,m](m>1)时函数f(x)的最大值与最小值之差为,求m的值.
解:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上是单调增函数.
证明如下:任设-1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2--(2-)=,
因为-1<x1<x2,
所以x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在(-1,+∞)上是单调增函数.
(2)由(1)知f(x)在[1,m]递增,所以最大值为f(m)=,
最小值为f(1)=,
所以f(m)-f(1)=,
即-=,所以m=2.
19.(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)为奇函数,且在x≥0时的图象如图所示.
(1)请补全函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
解:(1)
(2)当x≥0时,顶点坐标为(1,-1),过点(2,0),
设y=a(x-1)2-1,代入(2,0)可得a=1,
故x≥0时,y=x2-2x,
设x<0,则-x>0,
因此f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又f(x)为奇函数,
故f(x)=-f(-x)=-x2-2x(x<0).
综上,f(x)=
(3)由图象易得增区间(-∞,-1),(1+∞),减区间 (-1,1).
20.(本小题满分12分)
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x万件),其总成本为G(x)万元,其中固定成本为3万元,并且每生产1万件的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少万件产品时,可使盈利最多?
解:(1)由题意得G(x)=x+3,
所以f(x)=R(x)-G(x)=
(2)当0≤x≤5时,函数f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,5)上单调 递减,
所以x=4时,f(x)有最大值为13.
当x>5时,函数f(x)在(5,+∞)上递减.
所以f(x)<f(5)=12.
所以当工厂生产4万件时,可使盈利最多为13万元.
21.(本小题满分12分)
已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数;
(3)若f(2+a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
(1)解:f(x)为奇函数.
理由如下:
因为f(x)定义域关于原点对称,
且f(-x)==-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)证明:设x1,x2为区间(-2,2)上的任意两个值,且x1<x2
f(x1)-f(x2)=-=,
因为-2<x1<x2<2,
所以x2-x1>0,x1x2-4<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(-2,2)上是增函数.
(3)解:因为f(x)为奇函数
所以由f(2+a)+f(1-2a)>0,
得f(2+a)>-f(1-2a)=f(2a-1),
因为函数f(x)在(-2,2)上是增函数.
所以
即
故a∈(-,0).
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且满足f(x+y)=f(x)·f(y),且 f(2)=.
(1)求f(4)的值;
(2)当x∈[,3]时,f(kx2)<2f(2x-5)恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)由f(x+y)=f(x)·f(y)可得
f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=2.
(2)由(1)知f(4)=2,由此f(kx2)<2f(2x-5)可变为f(kx2)<f(4)·f(2x-5)=f(2x-1),
因为f(x)是定义在R上的增函数,所以kx2<2x-1,
即对一切x∈[,3]有k<恒成立,
设g(x)==-()2+2·,
令t=,t∈[,2],
则有y=g(x)=-t2+2t,t∈[,2],
所以当t=2时,ymin=0,
即当x=时,g(x)min=0.
因此k<0,即k的取值范围为(-∞,0).