2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案：3.3.3-4-点到直线的距离-两条平行直线间的距离-Word版含解析.doc

3.3.3　点到直线的距离
3.3.4　两条平行直线间的距离

知识导图

学法指导
1.对于点到直线的距离公式，应注意其只适用于直线的一般式方程．
2．用待定系数法求直线的方程时，注意讨论斜率的存在性．
3．应用两条平行直线间的距离公式时，两直线方程应化成一般式且x，y对应的系数分别相等．
高考导航
高考较少单独考查点到直线、两条平行直线间的距离公式，若单独考查，则一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.

知识点　点到直线、两条平行线间的距离
1．点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2．两条平行直线间的距离

直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
①两条平行线间的距离是分别在两条直线上的两点间距离的最小值；
②可化为一条直线上的点到另一条直线的距离；
③只有两条直线方程的系数相同时才可应用两条平行直线间的距离公式d＝.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　)
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　)
(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　B.
C．2 D.
解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝，故选D.
答案：D
3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析：所求为过点A(1,2)，且垂直OA的直线，所以k＝－，故所求直线为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.故选A.
答案：A
4．求两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离d＝________.
解析：方法一　在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以点P到直线l2的距离即为l1与l2之间的距离，
于是d＝＝＝.
方法二　因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝.
答案：

类型一　点到直线的距离
例1　(1)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
①y＝x＋；②y＝6；③x＝4.
(2)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程．
【解析】　(1)①直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.
②因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
③因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
(2)因为所求直线方程过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又原点到直线的距离等于，所以＝，解得k＝－7或k＝－1.
故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
先将直线方程化为一般式，然后再套用公式求距离．特殊的直线可以利用几何意义求解，也可以直接代入求解．

方法归纳
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
跟踪训练1　求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线l的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
设出直线l的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解．

类型二　两平行线间的距离
例2　求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【解析】　方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
方法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
利用平行先设直线方程，再由距离求直线方程．

方法归纳
求两平行线间的距离
一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练2　(1)两条平行线l1：3x＋4y＝10和l2：6x＋8y＝15间的距离是________；
(2)与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(　　)
A．2x＋y＝0　　　　　　　　　　　　　　B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：(1)l1，l2方程分别化为l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－＝0，
故l1与l2之间的距离d＝＝.
(2)根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.故选D.
答案：(1)　(2)D
当系数不对应相等时，应化成系数对应相等，再利用公式求解．

类型三　距离公式的综合应用
例3　已知正方形ABCD的中心M(－1,0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．
【解析】　因为AB∥CD，所以可设AB边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0.
又因为AD⊥CD，BC⊥CD，故可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0.
因为中心M(－1,0)到CD的距离为d＝＝，
所以点M(－1,0)到AD，AB，BC的距离均为，
由＝，得|n－3|＝6，解得n＝9或－3.
由＝，得|m－1|＝6，解得m＝7或－5(舍去)，
所以其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
利用正方形的平行关系设直线方程，再利用距离公式求直线方程．

方法归纳
常见的距离公式应用问题的解题策略
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
跟踪训练3　求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解析：由解得，即直线l过点B.
(1)当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
(2)当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0，
由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
所以l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0.
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
先联立方程求交点坐标，再利用距离公式求直线方程，注意讨论斜率．

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　)
A.　　B.
C. D．2
解析：直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝，故选A.
答案：A
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)
A. B．－
C．－ D.或－
解析：由＝1，解得m＝或－，故选D.
答案：D
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为(　　)
A．－6或 B．－或1
C．－或 D．0或
解析：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.
答案：A
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　)
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
解析：在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
答案：D
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是(　　)
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
解析：∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，
即：2x＋y－1＝0，又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
解析：直线10x＋24y＋5＝0可化为5x＋12y＋＝0，
所以两平行直线间的距离d＝＝.
答案：
7．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
解析：设P(a,0)，则有＝6，解得a＝－12或8，∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
答案：(－12,0)或(8,0)
8．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________．
解析：由题意设所求直线方程为7x＋24y＋c＝0，则有＝3，解得c＝70或c＝－80.即所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.
答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解析：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，
解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解析：∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2的方程为2x－4y－1＝0，
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
解析：解法一　设对称直线方程为x＋2y＋c＝0
∵＝
∴|c－1|＝2，∴c＝3或－1(舍)
解法二　设对称直线方程为x＋2y＋c＝0
取直线x＋2y－1＝0上一点A(1,0)，直线x＋2y＋1＝0上一点B(－1,0)，A关于B对称点C(－3,0)代入x＋2y＋c＝0得c＝3.
答案：B
12．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．
解析：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝＝1，∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，
即x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝＝，
故S△ABC＝××＝3.
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得＝2，
∴k＝，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为＝.