2022年八年级数学下学期期末模拟卷3沪科版.doc

期末模拟卷〔3〕
一、选择题，每题3分，共30分
1．〔3分〕以下二次根式中，是最简二次根式的是〔　　〕
A． B． C． D．
2．〔3分〕△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，那么它的三条边之比为〔　　〕
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
3．〔3分〕方程x2＝x的根是〔　　〕
A．1 B．0 C．±1 D．1或0
4．〔3分〕以下四组数据不能组成直角三角形的是〔　　〕
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，，
5．〔3分〕一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是〔　　〕
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
6．〔3分〕以下图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔3分〕平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是〔　　〕
A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm
8．〔3分〕正多边形的每个内角不可能是〔　　〕
A．108° B．90° C．120° D．75°
9．〔3分〕p2+q2﹣4p﹣2q+5＝0，那么p，q是以下哪个方程的两根〔　　〕
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0
10．〔3分〕如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，那么整个阴影局部图形的周长为〔　　〕
A．72cm B．18cm C．40cm D．36cm
二、填空题.每题3分，共30分
11．〔3分〕计算：2+2＝　 　．
12．〔3分〕假设等边三角形的边长为2，那么它的面积是　 　．
13．〔3分〕设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，那么x12+x22的值为　 　．
14．〔3分〕m2+m﹣1＝0，求m4+2m3﹣m﹣2022＝　 　．
15．〔3分〕某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如下图的统计图．假设该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子〞的学生有　 　人．
16．〔3分〕有一组数据3、5、7、a、4，如果他们的平均数是5，那么这组数据的方差是　 　．
17．〔3分〕矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和为15，其对角线长为　 　．
18．〔3分〕如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为13cm的可活动的菱形衣架，要使点A与点C两挂钩间的距离为10cm，那么固定点A与点E之间的距离是　 　．
19．〔3分〕如图，平行四边形ABCD中，P为边AD的中点，连接PC，假设△APC、△PDC、△BAC的面积分别为S、S1、S2，当S＝12时，S1+S2＝　 　．
20．〔3分〕如图，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…依此类推，那么第n个三角形的周长为　 　．
三、计算题.每题5分，共10分
21．〔5分〕，用含有a、b的代数式表示．
22．〔5分〕关于x的方程kx2﹣2〔k+1〕x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由．
四、应用题.每题5分，共10分
23．〔5分〕百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一〞国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
24．〔5分〕我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起〞，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量单位：t，并将调查结果绘成了如下的条形统计图：
〔1〕求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
〔2〕根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户？
五、推理题.25题5分，26题7分，共12分
25．〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
26．〔7分〕：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
〔1〕求证：BE＝DF；
〔2〕连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
六、探究题，此题共8分
27．〔8分〕，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．
〔1〕如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
〔2〕如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
期末模拟卷〔3〕
参考答案与试题解析
一、选择题，每题3分，共30分
1．〔3分〕以下二次根式中，是最简二次根式的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否那么就不是．
【解答】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项错误；
C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误
应选：C．
2．〔3分〕△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，那么它的三条边之比为〔　　〕
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴c＝2a，b＝a，
∴三条边的比是1：：2．
应选：B．
3．〔3分〕方程x2＝x的根是〔　　〕
A．1 B．0 C．±1 D．1或0
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2＝x，
移项，x2﹣x＝0，
提公因式，x〔x﹣1〕＝0，
得，x＝0，x﹣1＝0，
解得，x1＝0，x2＝1，
应选：D．
4．〔3分〕以下四组数据不能组成直角三角形的是〔　　〕
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，，
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，组成是直角三角形，故A不符合题意；
B、62+82＝102，组成是直角三角形，故B不符合题意；
C、52+122＝132，组成是直角三角形，故C不符合题意；
D、〔〕2+〔〕2≠〔〕2，组成不是直角三角形，故D符合题意．
应选：D．
5．〔3分〕一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是〔　　〕
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°＝40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
应选：A．
6．〔3分〕以下图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
应选：A．
7．〔3分〕平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是〔　　〕
A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm
【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【解答】解：A、4+8＝12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
应选：B．
8．〔3分〕正多边形的每个内角不可能是〔　　〕
A．108° B．90° C．120° D．75°
【分析】根据多边形的内角与外角的关系求出外角，再根据外角和定理求出正多边形的边数，即可作出判断．
【解答】解：A、正多边形的内角是108°，那么外角是72°，多边形的外角和是360°，360°÷72°＝5，即正五边形的内角可能是108°，故A选项不符合题意；
B、正多边形的内角是90°，那么外角是90°，多边形的外角和是360°，360°÷90°＝4，即正四边形的内角可能是90°，故B选项不符合题意；
C、正多边形的内角是120°，那么外角是60°，多边形的外角和是360°，360°÷60°＝6，即正六边形的内角可能是120°，故C选项不符合题意；
D、正多边形的内角是75°，那么外角是105°，多边形的外角和是360°，360°÷105°＝3，那么这样的多边形不存在，故D选项符合题意；
应选：D．
9．〔3分〕p2+q2﹣4p﹣2q+5＝0，那么p，q是以下哪个方程的两根〔　　〕
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0
【分析】先利用配方法及非负数的性质求出p＝2，q＝1，那么p+q＝3，pq＝2，然后根据根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵p2+q2﹣4p﹣2q+5＝0，
∴〔p2﹣4p+4〕+〔q2﹣2q+1〕＝0，
∴〔p﹣2〕2+〔q﹣1〕2＝0，
∴p﹣2＝0，q﹣1＝0，
∴p＝2，q＝1，
∴p+q＝3，pq＝2，
∴p，q是方程x2﹣3x+2＝0的两根．
应选：A．
10．〔3分〕如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，那么整个阴影局部图形的周长为〔　　〕
A．72cm B．18cm C．40cm D．36cm
【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，那么阴影局部的周长即为矩形的周长．
【解答】解：根据折叠的性质，得
A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．
那么阴影局部的周长＝矩形的周长＝2〔12+6〕＝36〔cm〕．
应选：D．
二、填空题.每题3分，共30分
11．〔3分〕计算：2+2＝　5　．
【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．
【解答】解：2+2
＝2×+2×2
＝5．
故答案为：5．
12．〔3分〕假设等边三角形的边长为2，那么它的面积是　　．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，
∴BD＝DC＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴AD＝＝，
∴△ABC的面积为BC•AD＝×2×＝，
故答案为：．
13．〔3分〕设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，那么x12+x22的值为　13　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到+＝〔x1+x2〕2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以+＝〔x1+x2〕2﹣2x1x2
＝32﹣2×〔﹣2〕＝13．
故答案为：13．
14．〔3分〕m2+m﹣1＝0，求m4+2m3﹣m﹣2022＝　﹣2022　．
【分析】由m2+m﹣1＝0可转化为m2+m＝1，再对m4+2m3﹣m﹣2022提取公因式因式分解的过程中将m2+m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【解答】解：∵m2+m﹣1＝0
∴m2+m＝1
m4+2m3﹣m﹣2022
＝m2〔m2+m〕+m3﹣m﹣2022
＝m2+m3﹣m﹣2022
＝m〔m2+m〕﹣m﹣2022
＝m﹣m﹣2022
＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
15．〔3分〕某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如下图的统计图．假设该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子〞的学生有　200　人．
【分析】首先根据条形统计图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得出随机抽取本校的100名学生中喜欢“踢毽子〞的学生数，计算出喜欢“踢毽子〞的频率，然后利用样本估计总体的思想，求出该校喜欢“踢毽子〞的学生数．
【解答】解：∵随机抽取本校的100名学生中喜欢“踢毽子〞的学生有：100﹣40﹣20﹣15＝25〔人〕，
∴喜欢“踢毽子〞的频率为：25÷100＝0.25，
∴该校喜欢“踢毽子〞的学生有：800×0.25＝200〔人〕．
故答案为：200
16．〔3分〕有一组数据3、5、7、a、4，如果他们的平均数是5，那么这组数据的方差是　2　．
【分析】先由平均数是5计算a的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
【解答】解：5＝〔3+5+7+a+4〕，
∴a＝5×5﹣3﹣5﹣7﹣4＝6，
∴s2＝[〔3﹣5〕2+〔5﹣5〕2+〔7﹣5〕2+〔6﹣5〕2+〔4﹣5〕2]＝2．
故答案为：2．
17．〔3分〕矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和为15，其对角线长为　10　．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，再由两条对角线的夹角是60°，得出△OAB是等边三角形，即可求对角线长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OB＝OA＝×15＝5，
∴AC＝BD＝2×5＝10．
故答案为：10．
18．〔3分〕如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为13cm的可活动的菱形衣架，要使点A与点C两挂钩间的距离为10cm，那么固定点A与点E之间的距离是　24cm　．
【分析】利用菱形的性质得出AB，AC的长，进而利用勾股定理得出BO的长，即可得出BD的长．
【解答】解：由题意可得出：AB＝13cm，AC＝10cm，
那么AO＝CO＝5cm，
故BO＝＝12〔cm〕，
那么BD＝24cm，
故固定点A与点E之间的距离是24cm．
故答案为：24cm．
19．〔3分〕如图，平行四边形ABCD中，P为边AD的中点，连接PC，假设△APC、△PDC、△BAC的面积分别为S、S1、S2，当S＝12时，S1+S2＝　36　．
【分析】利用中线的性质得出S△APC＝S△CDP，进而得出S1＝12，S2＝24，即可得出答案．
【解答】解：∵P为边AD的中点，
∴S△APC＝S△CDP＝S△ADC＝12，
∵平行四边形ABCD中，AC是对角线，
∴S△ABC＝S△ADC＝24，
∴S1＝12，S2＝24，
∴S1+S2＝36．
故答案为：36．
20．〔3分〕如图，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…依此类推，那么第n个三角形的周长为　　．
【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的．
【解答】解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以：
第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为×＝；
第4个三角形对应的周长为××＝；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为；
故答案为：．
三、计算题.每题5分，共10分
21．〔5分〕，用含有a、b的代数式表示．
【分析】此题须根据二次根式的乘法公式对进行分解，再把a、b的值代入即可．
【解答】解：∵，
∴＝4×，
＝4ab．
故答案为：4ab．
22．〔5分〕关于x的方程kx2﹣2〔k+1〕x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由．
【分析】〔1〕根据方程有两个不相等的实数根可知△＝[﹣2〔k+1〕]2﹣4k〔k﹣1〕＞0，求得k的取值范围；
〔2〕可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与是否矛盾，如果矛盾那么不存在，如果不矛盾那么存在．
【解答】解：〔1〕∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2〔k+1〕]2﹣4k〔k﹣1〕＝12k+4＞0，且k≠0，
解得k＞﹣，且k≠0，
即k的取值范围是k＞﹣，且k≠0；
〔2〕假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，
那么x1，x2不为0，且，
即，且，
解得k＝﹣1，
而k＝﹣1与方程有两个不相等实根的条件k≥﹣，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．
四、应用题.每题5分，共10分
23．〔5分〕百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一〞国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，
〔40﹣x〕〔20+2x〕＝1200，
解得x1＝20，x2＝10〔因为尽快减少库存，不合题意，舍去〕，
答：每件童装降价20元；
24．〔5分〕我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起〞，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量单位：t，并将调查结果绘成了如下的条形统计图：
〔1〕求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
〔2〕根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户？
【分析】〔1〕根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；
〔2〕首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．
【解答】解：〔1〕观察条形图，可知这组样本数据的平均数是：
∴这组样本数据的平均数为6.8〔t〕．
∵在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6.5〔t〕．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，
有，
∴这组数据的中位数是6.5〔t〕．
〔2〕∵10户中月均用水量不超过7t的有7户，
有50×＝35．
∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．
五、推理题.25题5分，26题7分，共12分
25．〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．
【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC中点，
∴CD＝BD．
∴CD∥AE，CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
26．〔7分〕：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
〔1〕求证：BE＝DF；
〔2〕连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【分析】〔1〕求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
〔2〕由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立〔1〕的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC〔即AM〕垂直平分EF；OA＝OM，那么EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE〔HL〕
∴BE＝DF；
〔2〕解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°〔正方形的对角线平分一组对角〕，
BC＝DC〔正方形四条边相等〕，
∵BE＝DF〔已证〕，
∴BC﹣BE＝DC﹣DF〔等式的性质〕，
即CE＝CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF〔SAS〕，
∴OE＝OF，又OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
六、探究题，此题共8分
27．〔8分〕，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．
〔1〕如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
〔2〕如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【分析】〔1〕根据全等推出OE＝OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF＝CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
〔2〕分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF〔ASA〕，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AF＝FC，
设AF＝xcm，
那么CF＝xcm，BF＝〔8﹣x〕cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+〔8﹣x〕2＝x2，
解得x＝5，即AF＝5cm；
〔2〕显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得t＝．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．