2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-福建卷.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
文科数学
第Ⅰ卷（选择题　共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．a=1”是“直线和直线互相垂直”的（　　）条件
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
3．设是等差数列，若，则数列前8项和为（　　）
Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56
4．函数，若，则的值为（　　）
Ａ．3 Ｂ．0 Ｃ．-1 Ｄ．-2
5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．如图，在长方体中，分别为，则与平面所成的角的正弦值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则的解析式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．在△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
9．某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）
Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．48
10．若实数x,y满足{ ，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（　　）

12．双曲线的两个焦点为，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 展开式中的系数是 （用数字作答）
14.若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是
15.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
16.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集，则数集M必为数域；
④数域必为无限域。
其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量且。
（1）求的值；
（2）求函数的值域。
18. （本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响。
（1）求恰有二人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。
（1）求证：PO⊥平面ABCD;
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离

20. （本小题满分12分）
已知是正整数组成的数列，，且点在函数的图像上：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：
21. （本小题满分12分）
已知函数的图像过点（-1，-6），且函数的图像关于y轴对称。
（1）求m,n的值及函数的单调区间；
（2）若a>0，求函数在区间内的极值。
22. （本小题满分14分）
如图，椭圆C:的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M.
①求证：点M恒在椭圆C上；
②求△AMN面积的最大值。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．A　　2．Ｃ　　3．C　　4．B　　5．C　　6．D
7．A　　8．A　　9．A　　10．D　　11．A　　12．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13. 84
14.
15.
16. ①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分12分。
解：（1）由题意得
,
因为cosA≠0，所以tanA=2
（2）由（1）知tanA=2得

当，有最大值；
当，有最小值。
所以所求函数的值域为
18.解：记“第i个人破译出密码”为事件，依题意有
且A1，A2，A3相互独立。
（1） 设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有：
B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）
　　　　＝
　　　　＝.
（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则有：
D＝··，且，，互相独立，则有
P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.
所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大

19.解：

解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD, AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），
cos〈、〉=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则　　n·＝0，所以　　-x0+ z0=0,
n·＝0，　　　　-x0+ y0=0，
即x0=y0=z0,　
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝

20.解：

解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1
21.解：（1）由函数f (x)图像过（-1，-6），得m-n=-3，……①
由，得：
而图像关于y轴对称，所以：，即m=-3,
代入①得n=0
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
X
(-∞.0)
0
(0,2)
2
(2,+ ∞)
f′(x)
+
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由此可得：
当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；
当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.
22.解：（1）由题设a=2,c=1,从而：所以椭圆C的方程为：
（2）(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②
n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③
由②，③得
x0=.

所以点M恒在椭圆G上.
(ⅱ)设AM的方程为x=ty+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),则
|y1-y2|＝
因为λ≥4，0<
|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.
△AMN的面积S△AMN=
解法二：
（Ⅰ）同解法一：
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①
AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②
n(x-4)-(m-4)y=0, ……③
由②，③得：当x≠. ……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
当x=时，由②，③得：
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.
（Ⅱ）同解法一.