2022年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷).docx

2022年山东高考数学理试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〔1〕复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为( )
　　 A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
【答案】D
【解析】由(z-3)(2-i)=5，得，所以，选D.
〔2〕设集合A={0,1,2},那么集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
【答案】C
【解析】因为,所以，即,有5个元素，选C.
〔3〕函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,那么f(-1)= ( )
　　〔A〕-2 〔B〕0 〔C〕1 〔D〕2
【答案】A
【解析】因为函数为奇函数，所以，选A.
〔4〕三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为 的正 三角形，假设P为底面A1B1C1的中心,那么PA与平面ABC所成角的大小为 ( )
　　〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
【答案】B
【解析】取正三角形ABC的中心，连结,那么是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即，选B.
〔5〕将函数y=sin〔2x +〕的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，那么的一个可能取值为
　　〔A〕 〔B〕〔C〕0 〔D〕
【答案】B
【解析】将函数y=sin〔2x +〕的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.
　〔6〕在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，那么直线OM斜率的最小值为
　　〔A〕2 〔B〕1 〔C〕 〔D〕
【答案】 C
【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由得，即,此时OM的斜率为，选C.
〔7〕给定两个命题p、q，假设﹁p是q的必要而不充分条件，那么p是﹁q的
　　〔A〕充分而不必条件 〔B〕必要而不充分条件
　　〔C〕充要条件 〔D〕既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.
〔8〕函数y=xcosx + sinx 的图象大致为
【答案】D
【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.
〔9〕过点〔3，1〕作圆〔x-1〕2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，那么直线AB的方程为
　　〔A〕2x+y-3=0 〔B〕2x-y-3=0〔C〕4x-y-3=0 〔D〕4x+y-3=0
【答案】A
【解析】由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。又直线的斜率为负，所以排除C，选A.
设切线的斜率为，那么切线方程为，即
〔10〕用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
　　〔A〕243 〔B〕252 〔C〕261 〔D〕279
【答案】B
【解析】有重复数字的三位数个数为。没有重复数字的三位数有,所以有重复数字的三位数的个数为，选B.
　　〔11〕抛物线C1：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.假设C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，那么p=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.
〔12〕设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.那么当取得最大值时，的最大值
为
〔A〕0 〔B〕1 〔C〕 〔D〕3
【答案】 B
【解析】由，得。
所以，当且仅当，即时取等号此时，.
，应选B.
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分
　〔13〕执行右面的程序框图，假设输入的的值为0.25，那么输入的n的值为
【答案】3
【解析】第一次循环，，此时不成立。第二次循环，，此时成立，输出。
　(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为
【答案】
【解析】设，那么。由，解得，即当时，。由几何概型公式得所求概率为。
〔15〕向量与的夹角为，且假设且,那么实数的值为
【答案】
【解析】向量与的夹角为，且所以。由得，，即，所以，即，解得。
〔16〕定义“正对数〞：，现有四个命题：
①假设，那么
②假设，那么
③假设，那么
④假设，那么

【答案】①③④
【解析】①当时，，，所以成立。当时，，此时，即成立。综上恒成立。②当时，，所以不成立。③讨论的取值，可知正确。④讨论的取值，可知正确。所以正确的命题为①③④。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
　　〔17〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .
　〔Ⅰ〕求a，c的值；
〔Ⅱ〕求sin〔A-B〕的值.
解答：〔1〕由cosB= 与余弦定理得，，又a+c=6，解得
〔2〕又a=3,b=2，与正弦定理可得，,，
所以sin〔A-B〕=sinAcosB-cosAsinB=
　〔18〕〔本小题总分值12分〕
　如下列图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
　　〔Ⅰ〕求证：AB//GH；
　　〔Ⅱ〕求二面角D-GH-E的余弦值.
解答：〔1〕因为C、D为中点，所以CD//AB
同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ，
所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以
CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.
(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为，平面EFG的一个法向量为，可得,所以二面角D-GH-E的余弦值为
〔19〕本小题总分值12分
　　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.
　〔1〕分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
〔2〕假设比赛结果为3：0或3：1，那么胜利方得3分，对方得0分；假设比赛结果为
3：2，那么胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.
解答：〔1〕，，
〔2〕由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为：，所以EX=
　　〔20〕〔本小题总分值12分〕
　　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1
〔1〕 求数列｛an｝的通项公式；
〔2〕 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+ = λ〔λ为常数〕，令cn=b2n，〔n∈N•〕.求数列｛cn｝的前n项和Rn.
解答：〔1〕由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，
所以
〔2〕由Tn+ = λ可得，，Tn-1+ = λ两式相减可得，当时，，所以当时，cn=b2n=，错位相减法可得，Rn=
当时，cn=b2n=，可得Rn=
　　〔21〕〔本小题总分值13分〕
设函数是自然对数的底数，.
〔1〕求的单调区间，最大值；
〔2〕讨论关于x的方程根的个数.
解答：〔1〕，令得，，
当
所以当时，函数取得最的最大值
〔2〕由〔1〕知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数|lnx|是〔0,1〕时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。
故令f(1)=0得，，
所以当时，方程有两个根；
当时，方程有一两个根；
当时，方程有无两个根.
〔22〕〔本小题总分值13分〕
　　椭圆C：〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
　　〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
　　〔Ⅱ〕点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线
　　PM交C的长轴于点M〔m，0〕，求m的取值范围；
　　〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，假设k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.
解答：〔1〕由得，，，解得
所以椭圆方程为：
〔2〕由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m〔，因为，
所以，而，所以
〔3〕由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以，而，代入中得：
为定值.