2022年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第1期)专题28解直角三角形.docx

解直角三角形一、选择题
1．(2022福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点〔不与A，B重合〕，连接OP，设∠POB=α，那么点P的坐标是〔　　〕
A．〔sinα，sinα〕 B．〔cosα，cosα〕 C．〔cosα，sinα〕 D．〔sinα，cosα〕
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】计算题；三角形．
【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，
那么P的坐标为〔cosα，sinα〕，
应选C．
【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键．
2．(2022·云南)一座楼梯的示意图如下列图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，CA=4米，楼梯宽度1米，那么地毯的面积至少需要〔　　〕
A．米2B．米2C．〔4+〕米2D．〔4+4tanθ〕米2
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ〔米〕，
∴AC+BC=4+4tanθ〔米〕，
∴地毯的面积至少需要1×〔4+4tanθ〕=4+tanθ〔米2〕；
应选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
3．〔2022·四川巴中〕一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶撤除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如下列图，那么以下关系或说法正确的选项是〔　　〕
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．
【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；
应选：B．
4．〔2022山东省聊城市，3分〕聊城“水城之眼〞摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，那么小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为〔tan33°≈0.65，tan21°≈0.38〕〔　　〕
A．169米 B．204米 C．240米 D．407米
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，列方程即可得到结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，
在Rt△BCO中，OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，
∵AB=110m，
∴AO=55m，
∴A0=AD﹣OD=CD•tan33°﹣CD•tan21°=55m，
∴CD==≈204m，
答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．
应选B．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．
5．〔2022.山东省泰安市，3分〕如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，假设该船继续向南航行至离灯塔最近位置，那么此时轮船离灯塔的距离约为〔由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947〕〔　　〕
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，那么假设该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN=30×2=60〔海里〕，
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60〔海里〕，
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68〔海里〕
应选：B．
【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 6．〔2022·江苏苏州〕如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，那么调整后的楼梯AC的长为〔　　〕
A．2mB．2mC．〔2﹣2〕mD．〔2﹣2〕m
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，
∴AD=4sin60°=2〔m〕，
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，
∴AC==2〔m〕．
应选B．
7．〔2022•辽宁沈阳〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，那么BC的长是〔　　〕
A．B．4 C．8D．4
【考点】解直角三角形．
【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB=，
即cos30°=，
∴BC=8×=4；
应选：D．
【点评】此题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是根底知识，需要熟练掌握．
二、填空题
1．〔2022·黑龙江大庆〕一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，那么该船行驶的速度为海里/小时．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可．
【解答】解：如下列图：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，
在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，
∴CQ=AQ=40，
∴BC=40+40=3x，
解得：x=．
即该船行驶的速度为海里/时；
故答案为：．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
2．〔2022·湖北十堰〕在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为　〔30+10〕　米．〔结果保存根号〕
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，那么四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，那么四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，
∴tan30°=，
∴=，
解得x=30+10．
∴河的宽度为〔30+10〕米．
【点评】此题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
3. 〔2022年浙江省宁波市〕如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，那么旗杆高BC为　10+1　m〔结果保存根号〕．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，那么AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，那么AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=10〔m〕，
∴BC=CE+BE=10+1〔m〕．
∴旗杆高BC为10+1m．
故答案为：10+1．
【点评】此题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
4．〔2022·山东枣庄〕如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，那么警示牌的高CD为米
〔结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73〕．
第14题图

【答案】2.9.
考点：解直角三角形.
5．〔2022·上海〕如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208　米．〔精确到1米，参考数据：≈1.73〕
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30°===，
解得：BD=30，
tan60°===，
解得：DC=90，
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208〔m〕，
故答案为：208．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
6．(2022大连，15，3分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里〔结果取整数〕〔参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4〕．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=≈11．
【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，
∴PC=PA=×18=9，
在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，
∴PB=≈≈11，
答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
故答案为11．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
7．(2022福州，18,4分)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．菱形的一个角〔∠O〕为60°，A，B，C都在格点上，那么tan∠ABC的值是．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【专题】网格型．
【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a
∴∠AEB=90°，
∴tan∠ABC===．
故答案为．
【点评】此题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
1.〔2022·湖北鄂州〕〔此题总分值9分〕为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域。如下列图，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里。
〔1〕〔4分〕分别求出A与C及B与C的距离AC，BC
〔结果保存根号〕
〔2〕〔5分〕在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，
我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁
的危险　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45〕　　　　　　　第1题图
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】〔1〕过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可求出A与C及B与C的距离AC，BC；
〔2〕过点D作DF⊥AC于F，解直角三角形即可求出DF的长，再比较与100的大小，从而得出结论有无触礁的危险.
【解答】解：⑴作CE⊥AB于E, 设AE＝x〔1分〕
那么在△ACE中,CE=√3 xAC=2 x
在△BCE中，BE=CE=√3 xBC=√6 x〔2分〕
由AB=AE＋BE∴x＋√3 x=60(√6＋√2)
解得x=60√2 〔3分〕
所以AC=120√2(海里) ，BC=120√3 (海里) 〔4分〕
⑵作DF⊥AC于F, 〔1分〕
在△AFD中,DF=√3/2DA〔2分〕
∴DF=√3/2×60(√6－√2)=60(3√2－√6) ≈106.8＞100 〔4分〕
所以无触礁危险. 〔5分〕【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
2. 〔2022·湖北黄冈〕〔总分值8分〕“一号龙卷风〞给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储处调集物资，方案先用汽车运到与D在同一直线上的C，B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O. ：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA =45°，CD=20km. 假设汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O〔在物资搬运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：≈1.4；≈1.7〕
〔第2题〕
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】要知道这批物资在哪个码头装船最早运抵小岛O，那么需分别计算出从C，B，A三个码头到小岛O所需的时间，再比较，用时最少的最早运抵小岛O. 题目中了速度，那么需要求出CO，CB、BO，BA、AO的长度.
【解答】解：∵∠OCA=30°，∠D=15°，∴∠DOC=15°.
∴CO=CD=20km. ……………………………………………….1分
在Rt△OAC中，∵∠OCA=30°，
∴OA=10，AC=10.
在Rt△OAB中，∵∠OBA=45°，
∴OA=AB=10，OB=10.
∴BC= AC-AB=10-10. ………………………………..4分
①从CO所需时间为：20÷25=0.8；……………..……..5分
②从CBO所需时间为：
〔10-10〕÷50+10÷25≈0.62；…………..6分
③从CAO所需时间为：
10÷50+10÷25≈0.74；…………………………..7分
∵0.62＜0.74＜0.8，
∴选择从B码头上船用时最少. ………………………………8分
〔所需时间假设同时加上DC段耗时0.4小时，亦可〕
3．(2022·四川资阳)如图，“中国海监50〞正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
〔1〕求出此时点A到岛礁C的距离；
〔2〕假设“中海监50〞从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50〞的航行距离．〔注：结果保存根号〕
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】〔1〕根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，进而求出答案；
〔2〕根据题意结合得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，那么A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．
【解答】解：〔1〕如下列图：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，
那么DC=60海里，
故cos30°===，
解得：AC=40，
答：点A到岛礁C的距离为40海里；
〔2〕如下列图：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，
那么∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′=x，那么A′E=x，
故CA′=2A′N=2×x=x，
∵x+x=40，
∴解得：x=20〔﹣1〕，
答：此时“中国海监50〞的航行距离为20〔﹣1〕海里．
4. (2022·四川自贡)某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购置假设干钢笔和笔记本〔2022•自贡〕某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．〔结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7〕
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
设CD=x米．
在Rt△ADC中，∠DAC=25°，
所以tan25°==0.5，
所以AD==2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，
由tan 60°==，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5. (2022·新疆)如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处〔C、D、B三点在同一直线上〕，又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度〔结果保存根号〕
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】探究型．
【分析】根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．
【解答】解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，
∴CB•tan30°=BD•tan45°，
∴〔CD+DB〕×=BD×1，
解得BD=8，
∴AB=BD•tan45°=〔〕米，
即旗杆AB的高度是〔〕米．
【点评】此题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6. 〔2022·四川成都·9分〕在学习完“利用三角函数测高〞这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．〔参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62〕
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．
【解答】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9〔米〕．
答：旗杆CD的高度约13.9米．
7. 〔2022·四川达州·8分〕如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．
〔1〕假设轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线
〔2〕假设轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头请说明理由．〔参考数据：≈1.4，≈1.7〕
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】〔1〕延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．
〔2〕求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．
【解答】解：〔1〕延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如下列图．
∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，
∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，
∴∠BCA=90°，
∵BC=12，AB=36×=24，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BD=BC=12，
∴时间t==小时=20分钟，
∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．
〔2〕∵BD=BC，BE⊥CD，
∴DE=EC，
在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，
∴BE=6，EC=6≈10.2，
∴CD=20.4，
∵20＜20.4＜21.5，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
8. 〔2022·四川广安·8分〕如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．台阶总高1.5米，为了平安现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC〔杆子的地段分别为D、C〕，且∠DAB=66.5°．〔参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92〕
〔1〕求点D与点C的高度DH；
〔2〕求所有不锈钢材料的总长度〔即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米〕
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】〔1〕根据图形求出即可；
〔2〕过B作BM⊥AD于M，先求出AM，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：〔1〕DH=1.5米×=1.2米；
〔2〕过B作BM⊥AD于M，
在矩形BCHM中，MH=BC=1米，
AM=AD+DH﹣MH=1米+1.2米﹣1米=1.2米=1.2米，
在Rt△AMB中，AB=≈3.0米，
所以有不锈钢材料的总长度为1米+3.0米+1米=5.0米．
9. 〔2022吉林长春，19，7分〕如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度〔结果精确到0.1米〕
【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】作DE⊥AB于E，根据正切的概念求出AE的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，
AB=AE+BE≈30.4米，
答：纪念碑的高度约为30.4米．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10. 〔2022江苏淮安，24，8分〕小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．假设直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】探究型．
【分析】根据题意作出适宜的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，
由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，
∴CM=米，
DN=米，
∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=〔40+20〕米，
即A、B两点的距离是〔40+20〕米．
【点评】此题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题．
11.〔2022·广东广州〕如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.
(1) 求之间的距离
(2) 求从无人机上看目标的俯角的正切值.
【难易】容易
【考点】俯角，三角函数，解直角三角形，矩形
【解析】〔1〕利用直角三角形中三角函数求线段的长度。
〔2〕构造直角三角形求指定角的三角函数值。
【参考答案】
解：〔1〕∵∠BAC=90°-30°=60°，AC=60m
∴在Rt△ABC中，有
〔2〕作DE⊥于点E，连结
∵∠DAC=90°-60°=30°，AC=60m
∴在Rt△ADC中，有
CD=AC×tan∠DAC=60×tan30°=m
∵∠AED=∠EAC=∠C=90°
∴四边形ACDE是矩形。
∵ED=AC=60m，EA=CD=m
∴在Rt△中，有
即从无人机上看目标D俯角正切值为。
12.〔2022·广东茂名〕如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，教学楼AB高4米．
〔1〕求教学楼与旗杆的水平距离AD；〔结果保存根号〕
〔2〕求旗杆CD的高度．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】〔1〕根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；
〔2〕利用〔1〕中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．
【解答】解：〔1〕∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，
∴AD===4〔m〕，
答：教学楼与旗杆的水平距离是4m；
〔2〕∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4m，
∴CD=AD•tan60°=4×=12〔m〕，
答：旗杆CD的高度是12m．
【点评】此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
13.〔2022·广东深圳〕某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A初飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°.B处的仰角为30°.无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保存根号)
考点：三角函数，两直线平等的性质。
解析：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线
由题意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH
∴∠ABC=30°, ∠ACB=45°
∵AB=4×8=32m
∴AD=CD=AB·sin30°=16m
BD=AB·cos30°=16m
∴BC=CD+BD=16+16m
∴BH=BC·sin30°=8+8m
14.〔2022·广西贺州〕如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，假设新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要撤除〔计算最后结果保存一位小数〕．〔参考数据： =1.414， =1.732〕
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．
【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∠CAB=45°，
∴AB=BC=10，
在Rt△DBC中，∠CDB=30°，
∴DB==10，
∴DH=AH﹣AD=AH﹣〔DB﹣AB〕=10﹣10+10=20﹣10≈2.7〔米〕，
∵2.7米＜3米，
∴该建筑物需要撤除．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15. 〔2022年浙江省台州市〕保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗请说明理由．〔参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3〕
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．
【解答】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，
理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，
∵BC=30cm，∠ACB=53°，
∴sin53°==≈0.8，
解得：BD=24，
cos53°=≈0.6，
解得：DC=18，
∴AD=22﹣18=4〔cm〕，
∴AB===＜，
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
16. 〔2022年浙江省温州市〕如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
〔1〕求证：∠1=∠F．
〔2〕假设sinB=，EF=2，求CD的长．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】〔1〕连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；
〔2〕根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC==8，设CD=x，那么AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：〔1〕证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；
〔2〕∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2，
∴AB=2AE=4，
在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，
∴BC==8，
设CD=x，那么AD=BD=8﹣x，
∵AC2+CD2=AD2，
即42+x2=〔8﹣x〕2，
∴x=3，即CD=3．
17．〔2022·山东烟台〕某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一局部落在平台上，另一局部落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度〔结果精确到0.1米〕．〔参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08〕
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解决问题．
【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意=，即=，CM=，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，
∴tan72°=，
∴AN≈12.3，
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=，
∴AB=AN+BN=13.8米．
18．〔2022·山西〕〔此题10分〕太阳能光伏发电因其清洁、平安、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点开展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，于点E．两个底座地基高度相同〔即点D，F到地面的垂直距离相同〕，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm〔结果保存根号〕
考点：三角函数的应用
分析：过点A作，垂足为G，利用三角函数求出CG，从
而求出GD，继而求出CD．
连接FD并延长与BA的延长线交于点H，利用三角函数求出
CH，由图得出EH，再利用三角函数值求出EF
解答：过点A作，垂足为G．…………〔1分〕
那么，在Rt中，
．…………〔2分〕
由题意，得．…………〔3分〕
〔cm〕．…〔4分〕
连接FD并延长与BA的延长线交于点H．…〔5分〕
由题意，得．在Rt中，
．……………………〔6分〕
．………〔7分〕
在Rt中，〔cm〕．……………〔9分〕
答：支撑角钢CD的长为45cm，EF的长为cm．……………………〔10分〕
19．〔2022·四川巴中〕如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250〔+1〕米．在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的平安造成影响．问假设在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250〔+1〕米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∴AD=CD•cot45°=CD，
BD=CD•cot30°=CD，
∵BD+AD=AB=250〔+1〕〔米〕，
即CD+CD=250〔+1〕