2022湖南省岳阳市中考数学试卷.docx

2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
〔总分值120分，考试时间90分钟〕
一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，总分值24分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．〔2022湖南岳阳，1，3分〕实数2的倒数是( )
A．－B．±C．2D．
【答案】D
2．〔2022湖南岳阳，2，3分〕以下计算正确的选项是( )
A．2a+ 5a=7aB．2x－x=1C．3+a=3aD．x2·x3=x6
【答案】A
3．〔2022湖南岳阳，3，3分〕以下几何体中，主视图是三角形的是( )
A B C D
【答案】C
4．〔2022湖南岳阳，4，3分〕2022年“五一〞小长假，岳阳楼、君山岛景区接待游客约120000人次．将120000用科学记数法表示为( )
A．12×104B．1.2×105C．1.2×106D．12万
【答案】B
5．〔2022湖南岳阳，5，3分〕不等式组的解集是( )
A．x>2 B．x>1C．1<x<2 D．无解
【答案】A
6．〔2022湖南岳阳，6，3分〕扇形的圆心角为60°，半径为1，那么扇形的弧长为( )
A．B．πC．D．
【答案】D
7．〔2022湖南岳阳，7，3分〕以下因式分解正确的选项是( )
A．x2－y2= (x－y)2B．a2+a+1=(a+1)2C．xy－x=x(y－1) D．2x+y= 2(x+y)
【答案】C
8．〔2022湖南岳阳，8，3分〕如图，点A是直线y=x与反比例函数y=(k>0，x>0)的交点，B是的图象上的另一点．BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C〔图中“→〞所示路线〕匀速运动，终点为C．过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，那么S关于t的函数图象大致为( )
A B C D
【答案】B
二、填空题〔本大题共8小题，每题4分，总分值32分．〕
9．〔2022湖南岳阳，9，4分〕计算：－=．
【答案】－3
10．〔2022湖南岳阳，10，4分〕方程x2－3x+2=0的根是．
【答案】1，2
11．〔2022湖南岳阳，11，4分〕体育测试中，某班某一小组1分钟跳绳成绩如下：176，176，168，150，190，185，180〔单位：个〕．那么这组数据的中位数是．
【答案】176
12．〔2022湖南岳阳，12，4分〕从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．
【答案】
13．〔2022湖南岳阳，13，4分〕如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点且EF =1，那么BC=．
【答案】2
14．〔2022湖南岳阳，14，4分〕如图，假设AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，那么∠BCF=．
【答案】70
15．〔2022湖南岳阳，15，4分〕观察以下一组数：、1、、、…，它们是按一定规律排列的．那么这组数的第n个数是．〔n为正整数〕
【答案】
16．〔2022湖南岳阳，16，4分〕如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C．连接AC、BC，作∠APC的平分线交AC于点D．以下结论正确的选项是．〔写出所有正确结论的序号〕
①△CPD∽△DPA；
②假设∠A=30°，那么PC=BC；
③假设∠CPA =30°，那么PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
【答案】②③④
三、解答题〔本大题共8小题，总分值64分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔2022湖南岳阳，17，6分〕计算：．
【答案】解：原式=．
18．〔2022湖南岳阳，18，6分〕解分式方程：．
【答案】解：去分母，得5x=3x－6，解得x=－3，经检验，x=－3是原方程的解．
19．〔2022湖南岳阳，19，8分〕在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余局部的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答以下问题：
(1)求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
(2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．
【答案】解：(1)设y=kx+b，过(0，24)，(2，12)，∴解得∴y=－6x+24；
(2)当y=0，0=－6x+24，解得x=4，∴蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为4小时．
20．〔2022湖南岳阳，20，8分〕某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少
【答案】解：设这个队胜x场，那么负(16－x)场．2x+(16－x)=25，解得x=9，∴16－x=7．答：这个队胜、负场数分别是9场、7场．
21．〔2022湖南岳阳，21，8分〕为了响应岳阳市政府“低碳交通，绿色出行〞的号召，某中学数学兴趣小组在全校2000名学生中就上学方式随机抽取了400名学生进行抽样调查，经统计整理绘制出图a、图b两幅不完整的统计图：
A：步行；
B：骑自行车；
C：乘公共交通工具；
D：乘私家车；
E：其它．
图a 图b
请根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)图a中“B〞所在扇形的圆心角为；
(2)请在图b中把条形统计图补充完整；
(3)请根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数．
【答案】解：(1)81°；
(2)如图：
(3)×2000=450．
22．〔2022湖南岳阳，22，8分〕如图，矩形ABCD为台球桌面．AD=260cm，AB=130cm．球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．
【答案】解：(1)由题意，得∠EFG=∠DFG，∵∠EFG+∠BFE=90°，∠DFG+∠CFD=90°，∴∠BFE=∠CFD，∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CDF；
(2)∵△BEF∽△CDF，∴，∴，∴CF=169．
23．〔2022湖南岳阳，23，10分〕数学活动——求重叠局部的面积．
(1)问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片〔纸片足够大〕的顶点P与等边△ABC的内心O重合，OA =2，那么图中重叠局部△PAB的面积为．
(2)探究1：在(1)的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置．纸片两边分别与 AC，AB交于点E、F，图②中重叠局部的面积与图①中重叠局部的面积是否相等如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
(3)探究2：如图③，假设∠CAB=α(0°<α<90°)，AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片〔纸片足够大〕与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°－α，求重叠局部的面积．〔用α或的三角函数值表示〕
图① 图② 图③
【答案】解：(1)；
(2)连接PA，PB．∵∠EPF=∠APB=120°，∴∠EPA+∠FPA+=∠FPB+∠FPA，∴∠EPA=∠FPB，又∵AO=BO，∠EAP=∠FBP，∴△EAP≌△FBP，∴S四边形PEAF=S△PEA+S△PAF=S△PFB+S△PAF=S△PAB．∴图②中重叠局部的面积与图①中重叠局部的面积相等．
(3)过P作PG⊥AC，PH⊥AB．∵AP是∠CAB的平分线，∴PG=PH，∠GPH=360－90－90－α=180－α，∵∠EPF=180°－α，∴∠EPG+∠EPH+=∠FPH+∠EPH，∴∠EPG=∠FPH，又∵∠EGP=∠FHP，∴△EGP≌△FHP，∴S四边形PEAF=S△PFH+SAEPH=S△PEG+SAEPH=SPGAH=2S△PAH．在△PAH中，AP=2，sin=，cos=，∴PH=2sin，AH=2cos，∴S四边形PEAF=2S△PAH=2×PH·AH=2sin·2cos=4sin·cos．
24．〔2022湖南岳阳，24，10分〕如图，抛物线经过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，)三点．设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E(x，y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值
(3)是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形假设存在，求E点、F点的坐标；假设不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，)，∴解得a=，b=－4，c=，∴y=x2－4x+；
(2)S=2S△EOB=2×OB·=5×(－x2+4x－)=－x2+20x－，S=－(x－3)2+，∴当x=3，面积S的最大值为；
(3)要使平行四边形OEBF为正方形，那么OB与EF相等且互相垂直平分，∴当x=2.5，y=×－10+=－2.5，∴E(2.5，－2.5)、F(2.5，2.5)．