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2022年湖北省咸宁市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕
1．〔3分〕下表是我市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是〔　　〕
景区
潜山公园
陆水湖
隐水洞
三湖连江
气温
﹣1℃
0℃
﹣2℃
2℃
A．潜山公园 B．陆水湖 C．隐水洞 D．三湖连江
2．〔3分〕在绿满鄂南行动中，咸宁市方案2022年至2022年三年间植树造林1210000亩，全力打造绿色生态旅游城市，将1210000用科学记数法表示为〔　　〕
A．121×104 B．12.1×105 C．1.21×105 D．1.21×106
3．〔3分〕以下算式中，结果等于a5的是〔　　〕
A．a2+a3 B．a2•a3 C．a5÷a D．〔a2〕3
4．〔3分〕如图是某个几何体的三视图，该几何体是〔　　〕
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
5．〔3分〕由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，那么〔　　〕
A．m=24〔1﹣a%﹣b%〕 B．m=24〔1﹣a%〕b% C．m=24﹣a%﹣b% D．m=24〔1﹣a%〕〔1﹣b%〕
6．〔3分〕a、b、c为常数，点P〔a，c〕在第二象限，那么关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．〔3分〕如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，假设∠BOD=∠BCD，那么的长为〔　　〕
A．π B． C．2π D．3π
8．〔3分〕在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为〔1，0〕，顶点A的坐标为〔0，2〕，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，那么此时点C的对应点C′的坐标为〔　　〕
A．〔，0〕 B．〔2，0〕 C．〔，0〕 D．〔3，0〕
二、填空题〔每题3分，共24分〕
9．〔3分〕8的立方根是．
10．〔3分〕化简：÷=．
11．〔3分〕分解因式：2a2﹣4a+2=．
12．〔3分〕如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A〔﹣1，p〕，B〔4，q〕两点，那么关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．
13．〔3分〕小明的爸爸是个“健步走〞运动爱好者，他用 软件记录了某个月〔30天〕每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：
步数〔万步〕
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天数
3
7
5
12
3
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是．
14．〔3分〕如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．假设BE=3，那么折痕AE的长为．
15．〔3分〕如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2022时，顶点A的坐标为．
16．〔3分〕如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，以下结论：
①假设C、O两点关于AB对称，那么OA=2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③假设AB平分CO，那么AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的选项是〔把你认为正确结论的序号都填上〕．
三、解答题〔本大题共8小题，总分值72分〕
17．〔8分〕〔1〕计算：|﹣|﹣+20220；
〔2〕解方程：=．
18．〔7分〕如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
〔1〕求证：△ABC≌△DFE；
〔2〕连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
19．〔8分〕咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了局部学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下列图的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答以下问题：
〔1〕补全条形统计图，“体育〞对应扇形的圆心角是度；
〔2〕根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐〞的有人；
〔3〕在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，假设从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者〞培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．
20．〔8分〕小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：
〔1〕函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是；
〔2〕列表，找出y与x的几组对应值．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
0
1
2
…
其中，b=；
〔3〕在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
〔4〕写出该函数的一条性质：．
21．〔9分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
〔1〕求证：DF是⊙O的切线；
〔2〕假设AE=4，cosA=，求DF的长．
22．〔10分〕某公司开发出一款新的节能产品，该产品的本钱价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月〔30天〕的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y〔件〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系，线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
〔1〕第24天的日销售量是件，日销售利润是元．
〔2〕求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
〔3〕日销售利润不低于640元的天数共有多少天试销售期间，日销售最大利润是多少元
23．〔10分〕定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形〞．
理解：
〔1〕如图1，A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形〞〔画出点C的位置，保存作图痕迹〕；
〔2〕如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形〞，并说明理由；
运用：
〔3〕如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，假设在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形〞，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
24．〔12分〕如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，OB=OC=6．
〔1〕求抛物线的解析式及点D的坐标；
〔2〕连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
〔3〕平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
2022年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕
1．〔3分〕〔2022•咸宁〕下表是我市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是〔　　〕
景区
潜山公园
陆水湖
隐水洞
三湖连江
气温
﹣1℃
0℃
﹣2℃
2℃
A．潜山公园 B．陆水湖 C．隐水洞 D．三湖连江
【分析】将几个有理数比较后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜2，
∴隐水洞的气温最低，
应选C．
【点评】此题考查了有理数的大小比较的知识，解题的关键是能够了解正数大于0，负数小于0，两个负数比较绝对值大的反而小，难度不大．
2．〔3分〕〔2022•咸宁〕在绿满鄂南行动中，咸宁市方案2022年至2022年三年间植树造林1210000亩，全力打造绿色生态旅游城市，将1210000用科学记数法表示为〔　　〕
A．121×104 B．12.1×105 C．1.21×105 D．1.21×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：1210000=1.21×106．
应选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．〔3分〕〔2022•咸宁〕以下算式中，结果等于a5的是〔　　〕
A．a2+a3 B．a2•a3 C．a5÷a D．〔a2〕3
【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据同底数幂的除法对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=a5，所以B选项正确；
C、原式=a4，所以C选项错误；
D、原式=a6，所以D选项错误．
应选B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减．也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．
4．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图是某个几何体的三视图，该几何体是〔　　〕
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】根据三棱柱的特点求解即可．
【解答】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，得
几何体是三棱柱，
应选：A．
【点评】此题考查了三视图，利用三棱柱的特点得出几何体是解题关键．
5．〔3分〕〔2022•咸宁〕由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，那么〔　　〕
A．m=24〔1﹣a%﹣b%〕 B．m=24〔1﹣a%〕b% C．m=24﹣a%﹣b% D．m=24〔1﹣a%〕〔1﹣b%〕
【分析】首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降b%即可求出三月份鸡的价格．
【解答】解：∵今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，
∴2月份鸡的价格为24〔1﹣a%〕，
∵3月份比2月份下降b%，
∴三月份鸡的价格为24〔1﹣a%〕〔1﹣b%〕，
应选D．
【点评】此题主要考查了列代数式的知识，解题的关键是掌握每个月份的数量增长关系．
6．〔3分〕〔2022•咸宁〕a、b、c为常数，点P〔a，c〕在第二象限，那么关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，那么判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P〔a，c〕在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
应选B．
【点评】此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，假设∠BOD=∠BCD，那么的长为〔　　〕
A．π B． C．2π D．3π
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==2π；
应选：C．
【点评】此题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．
8．〔3分〕〔2022•咸宁〕在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为〔1，0〕，顶点A的坐标为〔0，2〕，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，那么此时点C的对应点C′的坐标为〔　　〕
A．〔，0〕 B．〔2，0〕 C．〔，0〕 D．〔3，0〕
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD〔AAS〕，从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，
∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD〔AAS〕
∴OC=BD，OA=CD，
∵A〔0，2〕，C〔1，0〕
∴OD=3，BD=1，
∴B〔3，1〕，
∴设反比例函数的解析式为y=，
将B〔3，1〕代入y=，
∴k=3，
∴y=，
∴把y=2代入y=，
∴x=，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为〔，0〕
应选〔C〕
【点评】此题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
二、填空题〔每题3分，共24分〕
9．〔3分〕〔2022•咸宁〕8的立方根是　2　．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键．
10．〔3分〕〔2022•咸宁〕化简：÷=　x﹣1　．
【分析】原式利用除法法那么变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=
=x﹣1
故答案为：x﹣1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
11．〔3分〕〔2022•咸宁〕分解因式：2a2﹣4a+2=　2〔a﹣1〕2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2〔a2﹣2a+1〕
=2〔a﹣1〕2．
故答案为：2〔a﹣1〕2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
12．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A〔﹣1，p〕，B〔4，q〕两点，那么关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　x＜﹣1或x＞4　．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点评】此题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
13．〔3分〕〔2022•咸宁〕小明的爸爸是个“健步走〞运动爱好者，他用 软件记录了某个月〔30天〕每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：
步数〔万步〕
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天数
3
7
5
12
3
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是　1.4，1.35　．
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1.4，得到这组数据的众数．
【解答】解：要求一组数据的中位数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第4、5个两个数的平均数是〔1.3+1.4〕÷2=1.35，
所以中位数是1.35，
在这组数据中出现次数最多的是1.4，
即众数是1.4．
故答案为：1.4；1.35．
【点评】此题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
14．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．假设BE=3，那么折痕AE的长为　6　．
【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．
【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
那么有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE=EC，即BE=EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，
那么AE=6，
故答案为：6
【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解此题的关键．
15．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2022时，顶点A的坐标为　〔2，2〕　．
【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2022次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．
【解答】解：2022×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．
当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．
连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；
由EF=4，∠FOE=60°〔正六边形的性质〕，
∴△OEF是等边三角形，
∴OF=EF=4，
∴F〔2，2〕，即旋转2022后点A的坐标是〔2，2〕，
故答案是：〔2，2〕．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质﹣旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．〔3分〕〔2022•咸宁〕如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，以下结论：
①假设C、O两点关于AB对称，那么OA=2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③假设AB平分CO，那么AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的选项是①②〔把你认为正确结论的序号都填上〕．
【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；
②当OC经过AB的中点E时，OC最大，那么C、O两点距离的最大值为4；
③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，那么AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；
④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=4，AC==2，
①假设C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
那么OA=AC=2；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴OE=CE=AB=2，
当OC经过点E时，OC最大，
那么C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以③不正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，
那么：=π，
所以④不正确；
综上所述，此题正确的有：①②；
故答案为：①②．
【点评】此题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是此题的关键，难度适中．
三、解答题〔本大题共8小题，总分值72分〕
17．〔8分〕〔2022•咸宁〕〔1〕计算：|﹣|﹣+20220；
〔2〕解方程：=．
【分析】〔1〕根据实数的运算法那么，零指数幂的性质计算即可；
〔2〕根据分式方程的解法即可得到结论．
【解答】解：〔1〕：|﹣|﹣+20220=﹣4+1=1﹣3；
〔2〕方程两边通乘以2x〔x﹣3〕得，x﹣3=4x，
解得：x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x〔x﹣3〕≠0，
∴原方程的根是x=﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法那么是解题的关键．
18．〔7分〕〔2022•咸宁〕如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
〔1〕求证：△ABC≌△DFE；
〔2〕连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】〔1〕由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
〔2〕连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：〔1〕∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE〔SSS〕；
〔2〕解：如下列图：
由〔1〕知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．〔8分〕〔2022•咸宁〕咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了局部学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下列图的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答以下问题：
〔1〕补全条形统计图，“体育〞对应扇形的圆心角是　72　度；
〔2〕根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐〞的有　700　人；
〔3〕在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，假设从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者〞培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．
【分析】〔1〕根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；
〔2〕用样本估计总体的思想解决问题；
〔3〕根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：〔1〕调查的学生总数为60÷30%=200〔人〕，
那么体育类人数为200﹣〔30+60+70〕=40，
补全条形图如下：
“体育〞对应扇形的圆心角是360°×=72°，
故答案为：72；
〔2〕估计该校2000名学生中喜爱“娱乐〞的有：2000×=700〔人〕，
故答案为：700；
〔3〕将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如下列图：
所以P〔2名学生来自不同班〕==．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
20．〔8分〕〔2022•咸宁〕小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：
〔1〕函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是　任意实数　；
〔2〕列表，找出y与x的几组对应值．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
0
1
2
…
其中，b=　2　；
〔3〕在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
〔4〕写出该函数的一条性质：　函数的最小值为0〔答案不唯一〕　．
【分析】〔1〕根据一次函数的性质即可得出结论；
〔2〕把x=﹣1代入函数解析式，求出y的值即可；
〔3〕在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
〔4〕根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：〔1〕∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
〔2〕∵当x=﹣1时，y=|﹣1﹣1|=2，
∴b=2．
故答案为：2；
〔3〕如下列图；
〔4〕由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：函数的最小值为0〔答案不唯一〕．
【点评】此题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
21．〔9分〕〔2022•咸宁〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
〔1〕求证：DF是⊙O的切线；
〔2〕假设AE=4，cosA=，求DF的长．
【分析】〔1〕证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．
〔2〕首先判断出：AG=AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．
【解答】〔1〕证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF是⊙O的切线．
〔2〕解：AG=AE=2，
∵cosA=，
∴OA===5，
∴OG==，
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，
∴四边形OGFD为矩形，
∴DF=OG=．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．
22．〔10分〕〔2022•咸宁〕某公司开发出一款新的节能产品，该产品的本钱价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月〔30天〕的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y〔件〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系，线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
〔1〕第24天的日销售量是　330　件，日销售利润是　660　元．
〔2〕求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
〔3〕日销售利润不低于640元的天数共有多少天试销售期间，日销售最大利润是多少元
【分析】〔1〕根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；
〔2〕根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；
〔3〕分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．
【解答】解：〔1〕340﹣〔24﹣22〕×5=330〔件〕，
330×〔8﹣6〕=660〔元〕．
故答案为：330；660．
〔2〕设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，
将〔17，340〕代入y=kx中，
340=17k，解得：k=20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5〔x﹣22〕=﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得：，
∴交点D的坐标为〔18，360〕，
∴y与x之间的函数关系式为y=．
〔3〕当0≤x≤18时，根据题意得：〔8﹣6〕×20x≥640，
解得：x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：〔8﹣6〕×〔﹣5x+450〕≥640，
解得：x≤26．
∴16≤x≤26．
26﹣16+1=11〔天〕，
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵点D的坐标为〔18，360〕，
∴日最大销售量为360件，
360×2=720〔元〕，
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
【点评】此题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式以及解一元一次不等式，解题的关键是：〔1〕根据数量关系，列式计算；〔2〕利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式；〔3〕分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式．
23．〔10分〕〔2022•咸宁〕定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形〞．
理解：
〔1〕如图1，A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形〞〔画出点C的位置，保存作图痕迹〕；
〔2〕如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形〞，并说明理由；
运用：
〔3〕如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，假设在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形〞，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】〔1〕连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；
〔2〕设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形〞；
〔3〕根据“智慧三角形〞的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，那么面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
【解答】解：〔1〕如图1所示：
〔2〕△AEF是否为“智慧三角形〞，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE=2a，
∵BC：FC=4：1，
∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，
在Rt△ADE中，AE2=〔4a〕2+〔2a〕2=20a2，
在Rt△ECF中，EF2=〔2a〕2+a2=5a2，
在Rt△ABF中，AF2=〔4a〕2+〔3a〕2=25a2，
∴AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形〞；
〔3〕如图3所示：
由“智慧三角形〞的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，那么面积取得最小值，
由垂线段最短可得斜边最短为3，
由勾股定理可得PQ==2，
PM=1×2÷3=，
由勾股定理可求得OM==，
故点P的坐标〔﹣，〕，〔，〕．
【点评】此题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形〞的定义是解题的关键．
24．〔12分〕〔2022•咸宁〕如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，OB=OC=6．
〔1〕求抛物线的解析式及点D的坐标；
〔2〕连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
〔3〕平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
【分析】〔1〕由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；
〔2〕过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
〔3〕可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
【解答】解：
〔1〕∵OB=OC=6，
∴B〔6，0〕，C〔0，﹣6〕，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，
∵y=x2﹣2x﹣6=〔x﹣2〕2﹣8，
∴点D的坐标为〔2，﹣8〕；
〔2〕如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F〔x，x2﹣2x﹣6〕，那么FG=|x2﹣2x﹣6|，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
∴A〔﹣2，0〕，
∴OA=2，那么AG=x+2，
∵B〔6，0〕，D〔2，﹣8〕，
∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴=，即==，
当点F在x轴上方时，那么有=，解得x=﹣2〔舍去〕或x=7，此进F点坐标为〔7，〕；
当点F在x轴上方时，那么有=﹣，解得x=﹣2〔舍去〕或x=5，此进F点坐标为〔5，﹣〕；
综上可知F点的坐标为〔7，〕或〔5，﹣〕；
〔3〕∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P〔2，0〕，
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ=MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，那么MT=2n，
∴M〔2+2n，n〕，
∵M在抛物线上，
∴n=〔2+2n〕2﹣2〔2+2n〕﹣6，解得n=或n=，
∴MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，那么M〔2+2n，﹣n〕，
∴﹣n=〔2+2n〕2﹣2〔2+2n〕﹣6，解得n=或n=〔舍去〕，
∴MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕中证得△FAG∽△BDE，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在〔3〕中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．