2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测六指数函数与对数函数的关系新人教B版必修第二册.doc

课时跟踪检测（六） 指数函数与对数函数的关系
A级——学考水平达标练
1．已知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，则(　　)
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)
解析：选D　函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，即f(x)＝ln x，所以f(2x)＝ln(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)．
2．已知函数y＝f(x)的反函数是y＝1－，则原函数的定义域是(　　)
A．(－1,0) B．[－1,1]
C．[－1,0] D．[0,1]
解析：选D　原函数的定义域即为反函数的值域，由于0≤1－x2≤1，∴0≤1－≤1，即原函数的定义域为[0,1]．
3．设a>0且a≠1，函数y＝logax的反函数和y＝loga的反函数的图像关于(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．原点对称
解析：选B　函数y＝logax的反函数为y＝ax，而函数y＝loga＝－logax的反函数为y＝a－x，而y＝ax与y＝a－x的图像关于y轴对称，故选B.

4．函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为(　　)
A．2 B.
C．2或 D．3
解析：选B　法一：函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数为y＝logax(a＞0且a≠1)，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝.
法二：∵函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，∴函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像过点(a，)，∴aa＝＝a，即a＝.
5．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解析：选B　因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第二、三象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．
6．已知f(x)＝2x－3，则f－1(f(x))＝________，f(f－1(x))＝________.
解析：由f(x)＝2x－3得其反函数f－1(x)＝，
所以f－1(f(x))＝f－1(2x－3)＝x.f(f－1(x))＝f＝x.
答案：x　x
7．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________．
解析：当x＝－2时，
f(x)＝loga(－2＋3)＝0，
∴f(x)恒过(－2,0)点，即反函数的图像恒过点P(0，－2)．
答案：(0，－2)
8．已知f(x)＝(x<－1)，那么f－1＝________.
解析：由原函数与反函数的关系可知，由＝－，解得x2＝4，又x<－1，所以x＝－2，故f－1＝－2.
答案：－2
9．确定函数y＝的定义域和值域，并判断它是否存在反函数．
解：显然该函数定义域为R.
由y＝得yx2－x＋y＝0，
∴Δ＝1－4y2≥0，解得y∈.
由于当x＝2＋ 时，y＝；当x＝2－时，y＝.
故函数y＝不是单调函数，因而不存在反函数．
10．已知函数f(x)＝3x，其反函数为f－1(x)，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.
又∵f－1(18)＝a＋2，即log318＝2＋log32＝a＋2，
∴a＝log32.
则g(x)＝3xlog32－4x＝2x－4x.
(2)∵x∈[0,1]，所以2x∈[1,2]，
又g(x)＝－2＋，
∴当2x＝1时，g(x)max＝0；当2x＝2时，g(x)min＝－2.
故g(x)的值域为[－2,0]．
B级——高考水平高分练
1．(多选题)在同一直角坐标系下作y＝ax和y＝logax(a＞0且a≠1)的图像有下面四种判断，其中正确的是(　　)
A．两支图像可能无公共点
B．若两支图像有公共点，则公共点一定在直线y＝x上
C．若两支图像有公共点，则公共点个数可能有1个，不可能有2个
D．若两支图像有公共点，则公共点个数最多有3个
解析：选AB　因为函数y＝ax和y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，而底数不确定，所以可以对底数分情况讨论，画图可知，两图像可能有0个、1个或2个公共点，且公共点一定在直线y＝x上，故A正确，B正确，C、D不正确．
2．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x)．若lg a＋lg b＝0，则f－1(x)与g－1(x)的图像(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于y＝x对称
解析：选A　由lg a＋lg b＝0，得b＝a－1，∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.其反函数分别为f－1(x)＝logax，g－1(x)＝－logax，∴f－1(x)与g－1(x)的图像关于x轴对称．
3．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，∴≤≤.又a＞0，∴4≤x≤7.∴f(x)的定义域为[4,7]．
答案：[4,7]
4．若f(x)＝3x＋1，则f－1(x＋1)＝________.
解析：由y＝3x＋1得x＝，所以f－1(x)＝，
故f－1(x＋1)＝.
答案：
5．若g(x)为函数f(x)的反函数，且f(3)＝0，则g(x＋1)的图像必经过点______．
解析：因为f(3)＝0，所以g(0)＝3，即g(x)的图像必经过点(0,3)，又g(x＋1)的图像是由g(x)的图像向左平移1个长度单位得到的，所以g(x＋1)的图像必经过点(－1,3)．
答案：(－1,3)
6．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求满足f(2x)＝f－1(x)时的x的值．
解：(1)由ax－1>0，得ax>1.
所以当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.
故当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，函数的定义域为(－∞，0)．
(2)当a>1时，u(x)＝ax－1为增函数，y＝logau也为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)为增函数；
当0<a<1时，u(x)＝ax－1为减函数，y＝logau也为减函数，所以f(x)在(－∞，0)为增函数．
(3)因为y＝loga(ax－1)，所以ax－1＝ay，所以ax＝ay＋1，
所以f－1(x)＝loga(ax＋1)．
又f(2x)＝loga(a2x－1)，
由f(2x)＝f－1(x)得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)．
所以a2x－1＝ax＋1，即(ax)2－ax－2＝0，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，所以x＝loga2.

7．已知a＞0且a≠1，求证函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图形．
证明：联系互为反函数的图像的性质，只要证明函数y＝的反函数是自身即可．
由已知可得ayx－y＝x－1，(ay－1)x＝y－1，
若y＝，由题设＝，得ax－1＝ax－a，a＝1，与已知矛盾，所以y≠，则ay－1≠0，
于是x＝，交换x，y得反函数y＝.
它与原函数相同，所以它的图像关于直线y＝x对称．

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