2023版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系练习苏教版.doc

9.2 两条直线的位置关系
考点一　两直线的位置关系 
1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的 (　　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件
2.(2020·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的 (　　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件
3.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1∥l2时,a的值为________. 
4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1=0,则当l1⊥l2时, a的值为________.  
【解析】1.选C.由l1∥l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.
2.选A.由l1⊥l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.
3.当a=1时,l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1∥l2可得 解得a=-1.
综上可知,a=-1.
答案:-1
【一题多解】由l1∥l2知
即⇒⇒a=-1.
答案:-1
4.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;
当a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,
由l1⊥l2,得·=≠-1,所以此时不成立.
方法二:因为l1⊥l2,所以A1A2+B1B2=0,
即a+2a=0,得a=0.
答案:0
1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二　两条直线的相交、距离问题 
【典例】1.(2020·北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是 (　　)
A.(-2,-1)　 　B.(2,3)　 C.(2,1)　 D.(-2,1)
2.(2020·广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________. 
3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________.  
【解题导思】
序号
联想解题
1
由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.
2
由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.
3
由题意联想到两平行线间距离公式.
【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,
所以可设点N坐标为(x0,x0+1).
根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.
因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,
所以kMN×=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).
2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.
又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].
答案:[0,10]
3.依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.
答案:2或-6
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.
3.利用距离公式应注意
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.
1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________. 
2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________. 
【解析】1.由得
所以l1与l2的交点坐标为(1,3).
设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.
所以所求直线方程为x+2y-7=0.
答案:x+2y-7=0
2.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,
所以直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
方法二:当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),
所以直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
答案:x+3y-5=0或x=-1
考点三　对称问题 
命
题
精
解
读
考什么:(1)两直线的垂直关系
(2)中点坐标公式.
怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.
新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.
学
霸
好
方
法
两种对称问题的处理方法
(1)点关于直线的对称:若两点P1 (x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).
(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
点关于点的对称
【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________. 
【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?
提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.
点关于直线的对称
【典例】(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.  
【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,
所以
解得a=1,b=0.
又反射光线经过点N(2,6).
所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.
答案:6x-y-6=0
点M和它的对称点M′的连线段MM′与直线l有什么关系?
提示:垂直
直线关于直线对称
【典例】(2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是 (　　)
A.x-2y+3=0　 B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0　 D.x+2y-1=0
【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
因为PP′的中点在直线x-y+2=0上,
又因为kPP′×1=-1,
所以由　得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?
提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.
1.(2020·岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 (　　)
A.x+2y-1=0　 B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0　 D.x+2y-3=0
【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.
方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.
2.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点.
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),因为kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
所以3×-+3=0.②由①②得

把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用(1)中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l对称的直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
所以=1,x′=2,=2,y′=1,所以M′(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.
【解析】设A关于直线l的对称点为A′(m,n),
则解得
故A′(-2,8).P为直线l上的一点,
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,
当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线A′B与直线l的交点,解方程组得
故所求的点P的坐标为(-2,3).
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