2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式理.doc

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、选择题
1． cos＝(　　)
A. B. C．－ D．－
解析 cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.
答案 C
2．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ (　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　由于tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝.
答案　D
3．若＝，则tan 2α＝ (　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　由＝，得＝，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝＝.
答案　B
4．已知f(cos x)＝cos 3x，则f(sin 30°)的值为(　　)．
A．0 B．1 C．－1 D.
解析　∵f(cos x)＝cos 3x，
∴f(sin 30°)＝f(cos 60°)＝cos 180°＝－1.
答案　C
5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)．
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
解析　由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，
解得：m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案　B
6．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 (　　)．
A．16 B．72 C．86 D．100
解析　由sin ＝－sin ，sin ＝－sin ，…，sin ＝－sin ，sin ＝sin ＝0，所以S13＝S14＝0.
同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.
答案　C
二、填空题
7．已知cosα＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.
解析 由α是第二象限的角，得sinα＝＝，tanα＝＝－，则tan(2π－α)＝－tanα＝.
答案
8．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________.
解析 原式＝cos α＋sin α
＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α＝0.
答案 0
9．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
解析　依题意得sin α－cos α＝，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋2＝2，故(sin α＋cos α)2＝；又α∈，因此有sin α＋cos α＝，所以＝＝－(sin α＋cos α)＝－.
答案　－
10． f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2 012)＝6，则f(2 013)＝________.
解析　f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝6，∴asin α＋bcos β＝2，∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝2.
答案　2
三、解答题
11．已知＝3＋2，
求cos2(π－α)＋sin ·cos ＋2sin2(α－π)的值．
解析 由已知得＝3＋2，
∴tan α＝＝＝.
∴cos2(π－α)＋sin cos ＋2sin2(α－π)
＝cos2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin2α
＝cos2α＋sin αcos α＋2sin2α
＝
＝
＝＝.
12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解　法一　由sin(3π＋α)＝2sin，得tan α＝2.
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝.
法二　由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
13．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解　假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
14．已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．
解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.
由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.

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