2023版高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构特征及直观图练习苏教版.doc

8.1 空间几何体的结构特征及直观图
考点一　空间几何体的结构特征 
1.以下命题:
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③以矩形的任意一边所在直线为轴,其余三边旋转一周所得的旋转体是圆柱;
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.以下四个命题中,真命题为 (　　)
A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B.底面是矩形的平行六面体是长方体
C.直四棱柱是直平行六面体
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
3. 下列结论:
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线相互平行.
其中正确的是 (　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
4.若四面体的三对相对棱分别相等,则称之为等腰四面体,若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之为直角四面体,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为
(　　)
A.2,8 B.4,12 C.2,12 D.12,8
【解析】1.选B.由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.
2.选D.对于A,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故A是假命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故B是假命题;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故C是假命题;由棱台的定义知D是真命题.
3.选D.①所取的两点的连线与圆柱的轴所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符.③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.
4.选A.因为矩形的对角线相等,所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有8个直角四面体.
　解决空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
【秒杀绝招】　优选法解T2,根据棱台的概念知,所有侧棱延长后交于一点,故D正确,A,B,C可以不予考虑.
考点二　空间几何体的直观图 
【典例】1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是 (　　)
【解析】选A.由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2.
2.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________.  
【解析】如图,图①、图②分别表示△ABC的实际图形和直观图.
从图②可知,A′B′=AB=2,
O′C′=OC=,
C′D′=O′C′sin 45°=×=.
所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×2×=.
答案:
1.原图形与直观图中的“三变”与“三不变”
(1)“三变”

(2)“三不变”

2.原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:
(1)S直观图=S原图形;
(2)S原图形=2S直观图.
1.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知A′C′=6,B′C′=4,则AB边的实际长度是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】选D.以C为原点,以CA为x轴,CB为y轴建立平面直角坐标系,在x轴上取点A,使得CA=C′A′=6,
在y轴上取点B,使得BC=2B′C′=8,则AB==10.
2.(2019·惠州模拟)已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1,那么原△ABC的面积为 (　　)
A.2 B. C.2 D.
【解析】选C.如图:
在△A1D1C1中,
由正弦定理=,得a=,
故S△ABC=×2×2=2.
考点三　空间几何体的表面积与体积 
命
题
精
解
读
考什么:(1)考查求几何体的表面积与体积.
(2)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
怎么考:(1)直接求表面积或体积.(2)与平行、垂直的性质、判定相结合考查.
新趋势:以柱、锥、台、球为载体,结合线面垂直等知识考查.
学
霸
好
方
法
空间几何体表面积、体积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.
求空间几何体的表面积或侧面积
【典例】(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
(　　)
A.12π B.12π C.8π D.10π
【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π.
面积为8的正方形截面的边长与圆柱的高及底面半径有何关系?
提示:正方形边长与圆柱高相等,是底面半径的2倍.
求空间几何体的体积
【典例】(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g. 
【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),
V=6×6×4-×12×3=132(cm3).
m=ρV=0.9×132=118.8(g).
答案:118.8
(1)求制作该模型所需原料的质量实际是求面积还是体积问题?
提示:体积问题.
(2)模型的体积与长方体体积和四棱锥体积之间有何关系?
提示:模型的体积是长方体体积和四棱锥体积之差.
　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________. 
【解析】==·AB=××1×1×1=.
答案:
1.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为 (　　)
A.3 B. C.1 D.
【解析】选C.如题图,因为△ABC是正三角形,
且D为BC中点,则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,
故BB1⊥AD,且BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1,
所以AD是三棱锥A-B1DC1的高.
所以=·AD=××=1.
2.圆锥的全面积为15π cm2,侧面展开图的圆心角为60°,则该圆锥的体积为________cm3. 
【解析】设底面圆的半径为r cm,母线长为a cm,则侧面积为×(2πr)a=πra.由题意得
解得
故圆锥的高h==5,所以体积为V=πr2h=π××5=π(cm3).
答案:π
3.(2020·佛山模拟)如图是一个铸铁零件,它是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体,圆柱的底面直径与高均为2厘米,正四棱柱底面边长为2厘米,侧棱为3厘米,则该零件的质量为________克.(铁的密度约为7.4克/厘米3,结果精确到0.1克) 
【解析】半圆柱的体积=πr2h=0.5π×2=π(厘米3),正四棱柱的体积=底面积×高=2×2×3=12(厘米3),所以铸铁零件的体积=(12+π)厘米3,所以铸铁零件的质量=体积×密度=(12+π)×7.4≈112.0(克).
答案:112.0
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