2022高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课时作业含解析北师大版.doc

6讲 正弦定理和余弦定理
课时作业
1．(2022·广东广雅中学模拟)a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，假设3bcosC＝c(1－3cosB)，那么sinC∶sinA＝(　　)
A．2∶3 B．4∶3
C．3∶1 D．3∶2
答案　C
解析　由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，应选C.
2．(2022·南昌模拟)在△ABC中，C＝，b＝4，△ABC的面积为2，那么c＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．2
答案　D
解析　由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.
3．(2022·兰州市实战考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设b2＝ac，c＝2a，那么cosC＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　由题意得，b2＝ac＝2a2，所以b＝a，所以cosC＝＝＝－，应选B.
4．(2022·广西南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，那么△ABC的面积等于(　　)
A. B．
C．1 D．
答案　A
解析　∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsinB＝×3×＝.应选A.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，假设asinA＋bsinB＜csinC，那么△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　C
解析　根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理，得cosC＝＜0，故C是钝角．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，那么B＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　因为＝，所以＝，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
7．(2022·大连双基测试)△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，那么cosC＝(　　)
A. B．±
C．－ D．
答案　D
解析　由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB<AC，∴0<C<B＝60°，∴cosC＝＝.应选D.
8．(2022·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设△ABC的面积为，那么C＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝.应选C.
9．(2022·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积〞，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，那么“三斜求积〞公式为S＝，假设a2sinC＝2sinA，(a＋c)2＝6＋b2，那么用“三斜求积〞公式求得△ABC的面积为(　　)
A. B．
C. D．1
答案　A
解析　因为a2sinC＝2sinA，所以a2c＝2a，所以ac＝2，
因为(a＋c)2＝6＋b2，所以a2＋c2＋2ac＝6＋b2，
所以a2＋c2－b2＝6－2ac＝6－4＝2，
从而△ABC的面积为S△ABC＝＝，应选A.
10．(2022·南阳模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，那么C＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　因为3sinA＝5sinB，
所以由正弦定理可得：3a＝5b，所以a＝.
又b＋c＝2a，所以c＝2a－b＝，
不妨取b＝3，那么a＝5，c＝7，
所以cosC＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，那么△ABC的面积的最大值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
答案　B
解析　∵2bcosB＝acosC＋ccosA，
∴2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0<B<π，∴cosB＝，∴B＝.
∵cosB＝＝，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.
∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝，故△ABC的面积的最大值为.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3,3cosA＝1，那么a＝(　　)
A. B．3
C. D．4
答案　B
解析　由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC，∵2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC，∵sinC>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.应选B.
13．(2022·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝，a＝c，那么＝________.
答案　1
解析　由题意知sin＝sinC，
∴sinC＝，又0<C<，∴C＝，从而B＝，
∴b＝c，故＝1.
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设2bcosB＝acosC＋ccosA，那么B＝________.
答案　
解析　由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，
得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.
又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.
∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，
∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.
又0<B<π，∴B＝.
15．(2022·杭州模拟)a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，那么△ABC的面积的最大值为________．
答案　
解析　因为a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，所以根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cosA＝＝，因为A∈(0，π)，故A＝.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，所以△ABC的面积的最大值为.
16．在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，那么△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
答案　　
解析　依题意作出图形，如下图，
那么sin∠DBC＝sin∠ABC.
由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，
那么sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.
所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC
＝×2×2×＝.
因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－
＝＝，所以CD＝.
由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.
17．(2022·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)假设a＋b＝2c，求sinC.
解　(1)由得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理，得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sinC＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.
18．(2022·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.
(1)求cosB的值；
(2)求sin的值．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsinC＝csinB.由3csinB＝4asinC，
得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a，所以b＝a.
因为b＋c＝2a，所以c＝a.由余弦定理可得
cosB＝＝＝－.
(2)由(1)可得sinB＝＝，
从而sin2B＝2sinBcosB＝－，
cos2B＝cos2B－sin2B＝－，
故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.
19．(2022·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BC＝BDcosα＋CDsinβ.
(1)求角β的大小；
(2)求四边形ABCD周长的取值范围．
解　(1)∵BC＝BDcosα＋CDsinβ，
∴sin∠BDC＝sinβcosα＋sinαsinβ，
∴sin(α＋β)＝sinβcosα＋sinαsinβ，
∴(sinαcosβ＋sinβcosα)
＝sinβcosα＋sinαsinβ，
∴sinαcosβ＝sinαsinβ，∴tanβ＝，
又β∈(0，π)，∴β＝.
(2)根据题意，得∠BAD＝，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
＝4＋1－2×2×1×cos＝7，
又BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosβ
＝(CB＋CD)2－3CB·CD
≥(CB＋CD)2－
＝，
∴CB＋CD≤2，又CB＋CD>，
∴四边形ABCD的周长AB＋BC＋CD＋DA的取值范围为(3＋，3＋2]．
20．(2022·河南联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
解　(1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，
所以cosC＝＝.
由余弦定理得cosC＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以EC＝BC＝，DE＝2－＝.
又cosC＝，所以sinC＝＝.
所以S△ADE＝DE·AC·sinC＝.