2022年高考新课标-卷文科数学压轴题多解探析-刘春红(1).docx
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1、2021 年高考新课标卷文科数学压轴题多解探析刘春红1 高成龙2(1.天津市第七中学天津300143;2.天津外国语学校天津300143)摘 要: 证明不等式的方法灵活多样,既可以从函数角度进行分析,也可以以几何背景入手探究 . 本文对于 2019 年高考新课标卷文科数学压轴题中的不等式题目,先给出命题组所提供的参考答案,然后给出本题多视角下的求证 思路关键词: 函数; 不等式; 几何背景1 真题再现题目(2019年新课标卷文)设x,y,z,且x+y+z=1( 1) 求( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值;(2)若(x2)2+(y1)2+(za)21成立
2、,证3明:a3或a1分析 本题考查的内容是选修 4 5中不等式选讲部分,考点是常见的均值不等式和柯西不等式等 采用分析法思考,若想得到题中不等式的最值,应先变形凑成柯西不等式的结构特征,再根据已知条件添上和为常数的各项,最后再由公式得出结论,重点考查学生的化简运算能力和推理能力解得a3或a12 第( 1) 问思路探析2. 1利用基本不等式证明基本不等式在高考中占有非常重要的地位,特别是求代数式和的最小值时应用较广 使用的关键是要根据式子的特征灵活变形,配凑出符合题意要求的形式. 在教材习题中,我们常见的题目是已知 x + y + z 为定值,然后求 x2 + y2 + z2的范围. 因此本问可
3、以将x1,y+1,z+1看作一个整体,分别记作x1,y1,z1,这样一来就转化为我们比较熟悉的问题,再利用基本不等式求解即可解法1令x1=x1,y1=y+1,z1=z+1,则由x+y+z=1得x1+y1+z1=2解析(1)x,y,z,且x+y+z=1,由柯西不因 为 x2 + y2 2x y ,y2 + z2 2y z ,x2+ z2等式 得,( 12 + 12 + 12) ( x 1) 2 + ( y + 1) 2 +111 1112221 111(z+1)2(x1+y+1+z+1)2=4所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 24 2x1z1,所以x1+y1+
4、z1x1y1+y1z1+x1z1因为 x1 + y1 + z1 = 2,所以 x2 + y2 + z2 + 2x y + 2y z + 2x z=43111111 111所以( x 1) 2+(y+1)2+(z+1)24的最小值为34 ( x2+ y2+ z2) 所 以 x y + y z + xz =1111 11 11 12(2)因为x+y+z=1,所以由柯西不等式可得,4 (x2+ y2+ z2)所以x2+y2+z2111(12+12+12)(x2)2+(y1)2+(za)21112(x2+y1+za)2=(a+2)2所以 x2 + y2 + z24 222 ( a + 2)21113所
5、以(x2)+(y1)+(za)3故( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3所以(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值222( a + 2) 2为3评注若x1+y1+ z1为定值,则x1+y1+z1的取111值范围的确定需要利用( x + y + z ) 2展开后的形式() 2得到,重点在于利用基本不等式推导出 x2 + y2 + z2由题意可得, a + 23 1 . 3x1 y1 + y1 z1 + x1 z1 1112. 2利用排序不等式证明anb1简记为:顺序和乱序和逆序和解法2令x1=x1,y1=y+1,z1=z+1,则由x+y+z=1得
6、x1+y1+z1=211不妨设xyz,则由排序不等式知,x2+y2+所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 24 3即( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3评注消元的想法简单,但化简的过程比较繁琐,使用的关键是如何巧妙地进行配方2. 4利用几何意义证明许多不等式有着丰富的几何意义,从图象和代数 结构两种不同角度探究不等式,有助于加深对不等式 的认识,观察题中代数式的几何意义,变抽象为直观, 利用图形的特征更好地理解代数结论的意义.在空间直角坐标系中,x+y+z=1表示的是一个11 1z2x y111+ y1 z1 +
7、z1 x1 平面,槡( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2表示平面 x + y+ z = 1 上的点与点( 1, 1, 1) 的长度,显然点( 1,因为 x1 + y1 + z1 = 2,所以 x2 + y2 + z2 + 2x y+ 2y z+ 2x z 1, 1 ) 到 平 面 x + y + z = 1 的 距 离 即 为=41111 11 111槡( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的 最 小 值,此 时所以 x1y1+ y1z1+ x1z14 ( x2+ y2+ z2)=1112( x 1) 2 + ( y + 1) 2
8、+ ( z + 1) 2也最小4 ( x2 + y2 + z2) 所以x2+y2+z211111122224解法4如图1,建立空间直角坐标系,取平面x+y+z=1上的三个点A(1,0,0)、点B(0,1,0)、点C(0,0,1),点(1,1,1)记为点D所以 x1 + y1 + z1 3 故( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2的最小值为4 3评注该解法与解法1比较类似,不同点在于解法 2 利用了教材中的排序不等式来证明 x2 + y2 + z2111x1y1+y1z1+x1z1,两种证法有些殊途同归的感觉2. 3利用消元配方法证明本题中的变量比较多,可以考虑消元
9、,将某个变量用其它变量的代数式表示出来,进而转化为我们熟悉的问题. 题中给出的 x + y + z = 1是三个变量的关设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),系,可以将其中的一个变量z用1xy表示,将其代则nAB,nAC入( x 1)+ ( y + 1)+ ( z + 1)因为AB = ( 1,1,0) ,AC = ( 1,0,1) ,222后就变为只关于两个变量x,y的式子,最后进行配方就可以得出其取值范围解法3因为x+y+z=1,所以z=1xy x + y = 0,所以 x + z = 0.x = 1,取则n=(1,1,1).所以( x 1) 2 + ( y + 1) 2 + (
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