高优指导2021版高考数学一轮复习第二章函数7二次函数性质的再研究与幂函数考点规范练文北师大版.doc

考点规范练7　二次函数性质的再研究与幂函数
　考点规范练A册第5页　 
基础巩固组
1.(2015福建三明质检)已知幂函数f(x)=xα的图像过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为(　　)

A. B.±
C.±9 D.9
答案:D
解析:由函数f(x)=xα过点(4,2),可得4α=22α=2,所以α=,所以f(x)=,故f(m)==3⇒m=9.
2.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的(　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
答案:B
解析:函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上是增加的,则满足对称轴-=2a≤2,即a≤1,所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.
3.(2015安徽蚌埠模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(　　)
A.- B.-
C.c D.
答案:C
解析:由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图像关于x=-对称,则x1+x2=-,
故f(x1+x2)=f=a·-b·+c=c.选C.
4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么(　　)
A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2)
C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)
答案:D

解析:由f(1+x)=f(-x)可知,函数图像的对称轴为x=,即-,所以b=-1,则f(x)=x2-x+c,结合函数图像可知f(0)<f(2)<f(-2),故选D.
5.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是(　　)
A.0 B.2 C.- D.-3〚导学号32470423〛
答案:C
解析:由x2+ax+1≥0得a≥-在x∈上恒成立.令g(x)=-,则g(x)在上是增加的,
所以g(x)max=g=-,所以a≥-.
6.(2015河南洛阳统考)设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)=(　　)
A.56 B.112 C.0 D.38
答案:B
解析:由二次函数图像的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=112.
7.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f=　　　　　. 
答案:
解析:依题意设f(x)=xα(α∈R),则有=3,即2α=3,得α=log23,则f(x)=,于是f.
8.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为　　　　　. 
答案:或-3
解析:f(x)图像的对称轴为x=-1.
当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,
f(-3)=3a+1.∴f(2)>f(-3),
即f(x)max=f(2)=8a+1=4.∴a=.
当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,
∴a=-3.
综上所述,a=或a=-3.
9.求函数y=x2-2ax-1在x∈[0,2]时的值域.
解:由已知可得,函数y图像的对称轴为x=a.
①当a<0时,ymin=f(0)=-1,
ymax=f(2)=4-4a-1=3-4a.
所以函数的值域为[-1,3-4a].
②当0≤a≤1时,ymin=f(a)=-a2-1,ymax=f(2)=3-4a,
所以函数的值域为[-a2-1,3-4a].
③当1<a≤2时,ymin=f(a)=-a2-1,ymax=f(0)=-1,
所以函数的值域为[-a2-1,-1].
④当a>2时,ymin=f(2)=3-4a,ymax=f(0)=-1.
所以函数的值域为[3-4a,-1].
10.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由f(0)=1,得c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x.
∴
因此,所求解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在区间[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).〚导学号32470424〛
能力提升组
11.(2015吉林松原质检)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0〚导学号32470425〛
答案:C
解析:∵f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,
∴f(x)的大致图像如图所示.

由f(m)<0,得-1<m<0,
∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.
12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为　　　　　.〚导学号32470426〛 
答案:
解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.
在同一坐标系中作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像,如图所示.

结合图像可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈,故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像有两个交点.所以m的取值范围是.
13.(2015课标全国Ⅱ,文16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　　.〚导学号32470427〛 
答案:8
解析:∵y'=1+,∴k=y'|x=1=2,
∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.
∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,
∴a=0舍去,故a=8.
14.已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;
(2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.
解:(1)设x1,x2是方程f(x)=0的两个根.由根与系数的关系,得
即所以b=0,c=-1.
(2)由题知,f(1)=1+2b+c=0,
所以c=-1-2b.
记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,
则解得<b<,
即实数b的取值范围为.

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