2023版高考数学一轮复习第9章解析几何第3节圆的方程课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　圆的方程
A级·根底过关|固根基|
1.圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
解析：选A　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D　由题意得即或
故原方程表示两个半圆．
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，那么解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.应选A.
4．点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，那么△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
解析：选D　由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，∴B(－4，－2)，C(－2，2)，
∴△ABC外接圆的半径为
＝＝，圆心为(－3，0)，
∴△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5，应选D.
5．M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q为(－2，3)，那么的最大值为(　　)
A．3＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D　表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中＝k，将圆C的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，即圆心C为C(2，7)，半径r＝2，由直线MQ与圆C有交点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，应选D.
6．(一题多解)(2023届山西太原模拟)方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，那么实数F＝________．
解析：解法一：因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，所以＝4，得F＝－2.
解法二：方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，所以F＝－2.
答案：－2
7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为______________．
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
答案：(x＋1)2＋y2＝20
8．(2023届厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，那么·的最大值为________．
解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12
9．以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．那么直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，那么由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P为(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10．以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，假设OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)因为OM＝ON，CM＝CN，
所以OC垂直平分线段MN.
因为kMN＝－2，
所以kOC＝，
所以＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，
此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
所以t＝－2不符合题意，舍去．
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
B级·素养提升|练能力|
11.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，那么△ABP面积的取值范围是　　(　　)
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A　圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|·d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．
12．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，那么|PQ|的最小值为________．
解析：函数y＝－的图象为圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，那么得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如下图．
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
答案：－2
13．点A(－3，0)，B(－1，－2)，假设圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，那么r的取值范围是________．
解析：由题意可得|AB|＝＝2，
根据△MAB和△NAB的面积均为4，
可得两点M，N到直线AB的距离为2.
由于AB的方程为＝，
即x＋y＋3＝0.
假设圆上只有一个点到直线AB的距离为2，
那么有圆心(2，0)到直线AB的距离为＝r＋2，解得r＝；
假设圆上只有3个点到直线AB的距离为2，
那么有圆心(2，0)到直线AB的距离为＝r－2，解得r＝.
综上，r的取值范围是.
答案：
14．(2023届大同模拟)半圆x2＋y2＝4(y≥0)，动圆与此半圆相切(内切或外切，如图)，且与x轴相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹图形；
(2)是否存在斜率为的直线l，它与(1)中所得轨迹由左至右顺次交于A，B，C，D四点，且满足|AD|＝2|BC|，假设存在，求出l的方程；假设不存在，请说明理由．
解：(1)设动圆圆心M(x，y)，作MN⊥x轴于N.
①假设动圆与半圆外切，那么|MO|＝2＋|MN|.
∴＝y＋2，
两边平方，得x2＋y2＝y2＋4y＋4，
化简，得y＝x2－1(y＞0)．
②假设动圆与半圆内切，那么|MO|＝2－|MN|，
∴＝2－y，
两边平方，得x2＋y2＝4－4y＋y2，
化简，得y＝－x2＋1(y＞0)．
其轨迹图形为
(2)假设直线l存在，可设l的方程为y＝x＋b，依题意，可得其与曲线y＝x2－1(y＞0)交于A，D两点，与曲线y＝－x2＋1(y＞0)交于B，C两点，
联立与
整理可得，3x2－4x－12b－12＝0　①与3x2＋4x＋12b－12＝0　②.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，
那么xA＋xD＝，xAxD＝－4b－4，xB＋xC＝－，
xBxC＝4b－4.
又|AD|＝ |xA－xD|，
|BC|＝ |xB－xC|，且|AD|＝2|BC|，
∴|xA－xD|＝2|xB－xC|，即(xA＋xD)2－4xAxD＝4[(xB＋xC)2－4xBxC]，
即＋4(4b＋4)＝4，
解得b＝.
将b＝代入方程①，得xA＝－2，xD＝.
∵曲线y＝x2－1(y＞0)的横坐标的范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
∴这样的直线l不存在．