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2022年四川省高考数学试卷文科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的15分设i为虚数单位，那么复数1+i2=A0B2C2iD2+2i25分设集合A=x|1x5，Z为整数集，那么集合AZ中元素的个数是A6B5C4D335分抛物线y2=4x的焦点坐标是A0，2B0，1C2，0D1，045分为了得到函数y=sinx+的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度55分设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x+y2，那么p是q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件65分a为函数fx=x312x的极小值点，那么a=A4B2C4D275分某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30A2022年B2022年C2022年D2021年85分秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，假设输入n，x的值分别为3，2，那么输出v的值为A35B20C18D995分正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|=1，=，那么|2的最大值是ABCD105分设直线l1，l2分别是函数fx=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，那么PAB的面积的取值范围是A0，1B0，2C0，+D1，+二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.115分sin750=125分某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积是135分从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么logab为整数的概率是145分假设函数fx是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，fx=4x，那么f+f2=155分在平面直角坐标系中，当Px，y不是原点时，定义P的“伴随点为P，当P是原点时，定义“伴随点为它自身，现有以下命题：假设点A的“伴随点是点A，那么点A的“伴随点是点A单元圆上的“伴随点还在单位圆上假设两点关于x轴对称，那么他们的“伴随点关于y轴对称假设三点在同一条直线上，那么他们的“伴随点一定共线其中的真命题是三、解答题共6小题，总分值75分1612分我国是世界上严重缺水的国家某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨将数据按照0，0.5，0.5，1，4，4.5分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图求直方图中a的值；设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；估计居民月均水量的中位数1712分如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADI在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；II证明：平面PAB平面PBD1812分在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=证明：sinAsinB=sinC；假设b2+c2a2=bc，求tanB1912分数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q0，nN+假设a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列an的通项公式；设双曲线x2=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+en22013分椭圆E：+=1ab0的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上求椭圆E的方程；设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD2114分设函数fx=ax2aln x，gx=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数1讨论fx的单调性；2证明：当x1时，gx0；3确定a的所有可能取值，使得fxgx在区间1，+内恒成立2022年四川省高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的15分设i为虚数单位，那么复数1+i2=A0B2C2iD2+2i【分析】利用复数的运算法那么即可得出【解答】解：1+i2=1+i2+2i=11+2i=2i，应选：C【点评】此题考查了复数的运算法那么，考查了推理能力与计算能力，属于根底题25分设集合A=x|1x5，Z为整数集，那么集合AZ中元素的个数是A6B5C4D3【分析】利用交集的运算性质即可得出【解答】解：集合A=x|1x5，Z为整数集，那么集合AZ=1，2，3，4，5集合AZ中元素的个数是5应选：B【点评】此题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题35分抛物线y2=4x的焦点坐标是A0，2B0，1C2，0D1，0【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是1，0，应选：D【点评】此题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于根底题45分为了得到函数y=sinx+的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原那么，结合平移前后函数的解析式，可得答案【解答】解：由中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sinx+，可得平移量为向左平行移动个单位长度，应选：A【点评】此题考查的知识点是函数图象的平移变换法那么，熟练掌握图象平移“左加右减“的原那么，是解答的关键55分设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x+y2，那么p是q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由x1且y1，可得：x+y2，反之不成立，例如取x=3，y=【解答】解：由x1且y1，可得：x+y2，反之不成立：例如取x=3，y=p是q的充分不必要条件应选：A【点评】此题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题65分a为函数fx=x312x的极小值点，那么a=A4B2C4D2【分析】可求导数得到fx=3x212，可通过判断导数符号从而得出fx的极小值点，从而得出a的值【解答】解：fx=3x212；x2时，fx0，2x2时，fx0，x2时，fx0；x=2是fx的极小值点；又a为fx的极小值点；a=2应选：D【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象75分某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30A2022年B2022年C2022年D2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得1301+12%n2022200，两边取对数即可得出【解答】解：设第n年开始超过200万元，那么1301+12%n2022200，化为：n2022lg1.12lg2lg1.3，n2022=3.8取n=2022因此开始超过200万元的年份是2022年应选：B【点评】此题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题85分秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，假设输入n，x的值分别为3，2，那么输出v的值为A35B20C18D9【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：应选：C【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答95分正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|=1，=，那么|2的最大值是ABCD【分析】如下列图，建立直角坐标系B0，0，CA点P的轨迹方程为：=1，令x=+cos，y=3+sin，0，2又=，可得M，代入|2=+3sin，即可得出【解答】解：如下列图，建立直角坐标系B0，0，CAM满足|=1，点P的轨迹方程为：=1，令x=+cos，y=3+sin，0，2又=，那么M，|2=+=+3sin|2的最大值是也可以以点A为坐标原点建立坐标系解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值所以BM最大值为3+=应选：B【点评】此题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题105分设直线l1，l2分别是函数fx=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，那么PAB的面积的取值范围是A0，1B0，2C0，+D1，+【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用根本不等式求得PAB的面积的取值范围【解答】解：设P1x1，y1，P2x2，y20x11x2，当0x1时，fx=，当x1时，fx=，l1的斜率，l2的斜率，l1与l2垂直，且x2x10，即x1x2=1直线l1：，l2：取x=0分别得到A0，1lnx1，B0，1+lnx2，|AB|=|1lnx11+lnx2|=|2lnx1+lnx2|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，|AB|xP|=函数y=x+在0，1上为减函数，且0x11，那么，PAB的面积的取值范围是0，1应选：A【点评】此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用根本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.115分sin750=【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案【解答】解：sin750=sin2360+30=sin30=，故答案为：【点评】此题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于根底题125分某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积是【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=，棱锥的高为h=1，棱锥的体积V=Sh=故答案为：【点评】此题考查了棱锥的三视图和体积计算，是根底题135分从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么logab为整数的概率是【分析】由条件先求出根本领件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的根本领件个数，由此能求出logab为整数的概率【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，根本领件总数n=12，logab为整数满足的根本领件个数为2，8，3，9，共2个，logab为整数的概率p=故答案为：【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用145分假设函数fx是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，fx=4x，那么f+f2=2【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可【解答】解：函数fx是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，fx=4x，f2=f0=0，f=f+2=f=f=2，那么f+f2=2+0=2，故答案为：2【点评】此题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决此题的关键155分在平面直角坐标系中，当Px，y不是原点时，定义P的“伴随点为P，当P是原点时，定义“伴随点为它自身，现有以下命题：假设点A的“伴随点是点A，那么点A的“伴随点是点A单元圆上的“伴随点还在单位圆上假设两点关于x轴对称，那么他们的“伴随点关于y轴对称假设三点在同一条直线上，那么他们的“伴随点一定共线其中的真命题是【分析】根据“伴随点的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可【解答】解：设A0，1，那么A的“伴随点为A1，0，而A1，0的“伴随点为0，1，不是A，故错误，假设点在单位圆上，那么x2+y2=1，即Px，y不是原点时，定义P的“伴随点为Py，x，满足y2+x2=1，即P也在单位圆上，故正确，假设两点关于x轴对称，设Px，y，对称点为Qx，y，那么Qx，y的“伴随点为Q，那么Q，与P，关于y轴对称，故正确，1，1，0，1，1，1三点在直线y=1上，1，1的“伴随点为，即，0，1的“伴随点为1，0，1，1的“伴随点为，即，那么，1，0，三点不在同一直线上，故错误，故答案为：【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点的定义是解决此题的关键考查学生的推理能力三、解答题共6小题，总分值75分1612分我国是世界上严重缺水的国家某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨将数据按照0，0.5，0.5，1，4，4.5分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图求直方图中a的值；设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；估计居民月均水量的中位数【分析】I先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；II根据中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值【解答】解：I1=0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.040.5，整理可得：2=1.4+2a，解得：a=0.3II估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为0.12+0.08+0.040.5=0.12，又样本容量为30万，那么样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.12=3.6万根据频率分布直方图，得；0.080.5+0.160.5+0.300.5+0.420.5=0.480.5，0.48+0.50.52=0.740.5，中位数应在2，2.5组内，设出未知数x，令0.080.5+0.160.5+0.300.5+0.420.5+0.52x=0.5，解得x=0.04；中位数是2+0.04=2.04【点评】此题用样本估计总体，是研究统计问题的一个根本思想方法频率分布直方图中小长方形的面积=组距，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型1712分如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADI在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；II证明：平面PAB平面PBD【分析】IM为PD的中点，直线CM平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，那么MEPA，证明平面CME平面PAB，即可证明直线CM平面PAB；II证明：BD平面PAB，即可证明平面PAB平面PBD【解答】证明：IM为PD的中点，直线CM平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，那么MEPA，ME平面PAB，PA平面PAB，ME平面PABADBC，BC=AE，ABCE是平行四边形，CEABCE平面PAB，AB平面PAB，CE平面PABMECE=E，平面CME平面PAB，CM平面CME，CM平面PAB假设M为AD的中点，连接CM，由四边形ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD可得四边形ABCM为平行四边形，即有CMAB，CM平面PAB，AB平面PAB，CM平面PAB；IIPACD，PAB=90，AB与CD相交，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，由I及BC=CD=AD，可得BAD=BDA=45，ABD=90，BDAB，PAAB=A，BD平面PAB，BD平面PBD，平面PAB平面PBD【点评】此题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题1812分在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=证明：sinAsinB=sinC；假设b2+c2a2=bc，求tanB【分析】将等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明由余弦定理求出A的余弦函数值，利用的条件，求解B的正切函数值即可【解答】证明：在ABC中，+=，由正弦定理得：，=，sinA+B=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=，=+=1，=，tanB=4【点评】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题1912分数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q0，nN+假设a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列an的通项公式；设双曲线x2=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+en2【分析】根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+a2+a3，代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn1+1，将两式相减可得an=2an1，即可得数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn1+1，将两式相减可得an=qan1，分析可得an=qn1；又由双曲线x2=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=2，解可得a2的值，由an=qn1可得q的值，进而可得数列an的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n1，运用分组求和法计算可得答案【解答】解：根据题意，数列an的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，那么S2=qa1+1，那么a2=q，又有S3=qS2+1，那么有a3=q2，假设a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+a2+a3，那么可得q2=2q，q0，解可得q=2，那么有Sn+1=2Sn+1，进而有Sn=2Sn1+1，可得an=2an1，那么数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，那么an=12n1=2n1；根据题意，有Sn+1=qSn+1，同理可得Sn=qSn1+1，可得：an=qan1，又由q0，那么数列an是以1为首项，公比为q的等比数列，那么an=1qn1=qn1；假设e2=2，那么e2=2，解可得a2=，那么a2=q=，即q=，an=1qn1=qn1=n1，那么en2=1+an2=1+3n1，故e12+e22+en2=n+1+3+32+3n1=n+【点评】此题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q0这一条件2013分椭圆E：+=1ab0的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P，在椭圆E上求椭圆E的方程；设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD【分析】由题意可得a=2b，再把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把MAMB化为|AB|2，再由两点间的距离公式求得MCMD的值得答案【解答】解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为；证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m22=0=4m242m22=84m20，即设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，那么，|AB|=x0=m，即M，那么OM所在直线方程为y=，联立，得或C，D，那么MCMD=而MAMB=105m2=MAMB=MCMD【点评】此题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题2114分设函数fx=ax2aln x，gx=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数1讨论fx的单调性；2证明：当x1时，gx0；3确定a的所有可能取值，使得fxgx在区间1，+内恒成立【分析】求导数，分类讨论，即可讨论fx的单调性；要证gx0x1，即0，即证，也就是证；由fxgx，得，设tx=，由题意知，tx0在1，+内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围【解答】解：由fx=ax2alnx，得fx=2ax=x0，当a0时，fx0在0，+成立，那么fx为0，+上的减函数；当a0时，由fx=0，得x=，当x0，时，fx0，当x，+时，fx0，那么fx在0，上为减函数，在，+上为增函数；综上，当a0时，fx为0，+上的减函数，当a0时，fx在0，上为减函数，在，+上为增函数；证明：要证gx0x1，即0，即证，也就是证，令hx=，那么hx=，hx在1，+上单调递增，那么hxmin=h1=e，即当x1时，hxe，当x1时，gx0；解：由fxgx，得，设tx=，由题意知，tx0在1，+内恒成立，t1=0，有tx=2ax=0在1，+内恒成立，令x=，那么x=2a=，当x2时，x0，令hx=，hx=，函数在1，2上单调递增，hxmin=h1=1e1x0，1x2，x0，综上所述，x1，x0，x在区间1，+单调递增，txt10，即tx在区间1，+单调递增，由2a10，a【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键