2022届高考数学总复习教学案正弦定理和余弦定理.docx

第七节正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1．正弦定理
分类
内容
定理
＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
变形
公式
①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
③sin A＝，sin B＝，sin C＝
解决的
问题
①两角和任一边，求其他两边和另一角，
②两边和其中一边的对角，求另一边的对角
2．余弦定理
分类
内容
定理
在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
公式
cos A＝；cos B＝；
cos C＝
解决的
问题
①三边，求各角；
②两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题能否全取]
1．(2022·广东高考)在△ABC中，假设∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，那么AC＝(　　)
A．4B．2
C.D.
解析：选B由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.
2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，那么A等于(　　)
A．30°B．45°
C．60°D．75°
解析：选C∵cosA＝＝＝，
又∵0°<A<180°，∴A＝60°.
3．(教材习题改编)在△ABC中，假设a＝18，b＝24，A＝45°，那么此三角形有(　　)
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
解析：选B∵＝，
∴sinB＝sinA＝sin45°，
∴sinB＝.
又∵a<b，∴B有两个．
4．(2022·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设a＝2，B＝，c＝2，那么b＝________.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2.
答案：2
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，那么△ABC的面积为________．
解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，
整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.
因此S△ABC＝AB×BC×sinB＝×3×5×＝.
答案：
(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
(2)在△ABC中，a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角
或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解

利用正弦、余弦定理解三角形
典题导入
[例1](2022·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)假设b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
[自主解答](1)由bsinA＝acosB及正弦定理
＝，得sinB＝cosB，
所以tanB＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
在本例(2)的条件下，试求角A的大小．
解：∵＝，
∴sinA＝＝＝.
∴A＝.
由题悟法
1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．
2．两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
以题试法
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)假设c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理得，
sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即
sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.
故sinB＝sinA，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，
故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，
又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
典题导入
[例2]在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)假设sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答](1)由，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，∵0<A<180°，∴A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝.
又sin B＋sin C＝1，
解得sin B＝sin C＝.
∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C，
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
由题悟法
依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
以题试法
2．(2022·安徽名校模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝.
(1)求角A的大小；
(2)假设b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝，
∴m·n＝4cos2－cos2A＝4·－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.
又∵m·n＝，
∴－2cos2A＋2cosA＋3＝，
解得cos A＝.
∵0<A<π，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，
∴b＝2－c，代入①式整理得c2－2c＋3＝0，解得c＝，∴b＝，于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．

与三角形面积有关的问题
典题导入
[例3](2022·新课标全国卷)a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A；
(2)假设a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
[自主解答](1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sin＝.
又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
由题悟法
1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
2．在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．
以题试法
3．(2022·江西重点中学联考)在△ABC中，cos2A＝cos2A－cosA.
(1)求角A的大小；
(2)假设a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.
解：(1)由得(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，
那么cosA＝.因为0<A<π，所以A＝.
(2)由＝，可得＝＝2，
即b＝2c.
所以cosA＝＝＝，
解得c＝，b＝2，
所以S△ABC＝bcsinA＝×2××＝.
1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b〞是使“cos A>cos B〞成立的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选Ca<b⇔A<B⇔cosA>cosB.
2．(2022·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．假设A＝，b＝1，△ABC的面积为，那么a的值为(　　)
A．1B．2
C.D.
解析：选D由得bcsinA＝×1×c×sin＝，解得c＝2，那么由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos＝3⇒a＝.
3．(2022·“江南十校〞联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，1＋＝，那么C＝(　　)
A．30°B．45°

解析：选B由1＋＝和正弦定理得
cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A，
所以cos A＝，那么A＝60°.
由正弦定理得＝，
那么sin C＝，
又c<a，那么C<60°，故C＝45°.
4．(2022·陕西高考)在△ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设a2＋b2＝2c2，那么cosC的最小值为(　　)
A.B.
C.D．－
解析：选C由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝(a2＋b2)，得2abcosC＝(a2＋b2)，即cosC＝≥＝.
5．(2022·上海高考)在△ABC中，假设sin2 A＋sin2B<sin2C，那么△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
解析：选C由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.假设b＝2asinB，那么角A的大小为________．
解析：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∵sinB≠0，
∴sinA＝，∴A＝30°或A＝150°.
答案：30°或150°
7．在△ABC中，假设a＝3，b＝，A＝，那么C的大小为________．
解析：由正弦定理可知sinB＝＝＝，所以B＝或(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－－＝.
答案：
8．(2022·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设b＝2，B＝，sinC＝，那么c＝________；a＝________.
解析：根据正弦定理得＝，那么c＝＝2，再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．
答案：26
9．(2022·北京高考)在△ABC中，假设a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，那么b＝________.
解析：根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
答案：4
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
(1)求B；
(2)假设A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.
故cosB＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故a＝b×＝＝1＋，
c＝b×＝2×＝.
11．(2022·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a－2bsinA＝0.
(1)求角B的大小；
(2)假设a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值．
解：(1)因为a－2bsinA＝0，
所以sinA－2sinBsinA＝0，
因为sinA≠0，所以sinB＝.
又B为锐角，所以B＝.
(2)由(1)可知，B＝.因为b＝.
根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accos，
整理，得(a＋c)2－3ac＝7.
由a＋c＝5，得ac＝6.
又a>c，故a＝3，c＝2.
于是cosA＝＝＝，
所以·＝||·||cosA＝cbcosA
＝2××＝1.
12．(2022·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)假设a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝
tanAtanC，
所以sinB＝·，
因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，
所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin B，
因此sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，
由余弦定理得cosB＝＝＝，
因为0<B<π，所以sinB＝＝，
故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
1．(2022·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，那么sinA∶sinB∶sinC为(　　)
A．4∶3∶2B．5∶6∶7
C．5∶4∶3D．6∶5∶4
解析：选D由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，那么由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
2．(2022·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，那么△ABC的面积为________．
解析：因为4sin2－cos2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，
2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，
解得cosC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，
ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝×6×＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
(2)假设a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)法一：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得
(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
sin B(2cos A－1)＝0.
∵0<B<π，∴sin B≠0，
∴cos A＝.
∵0<A<π，∴A＝.
法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0，
及余弦定理，得(2b－c)·－a·＝0，
整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，
∵0<A<π，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsin A＝，
即bcsin＝，
∴bc＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccos A，a＝，A＝，
∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
1．a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．假设a＝1，b＝，A＋C＝2B，那么sinC＝________.
解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sinA＝＝，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，∴sinC＝1.
答案：1
2．在△ABC中，a＝2bcosC，那么这个三角形一定是(　　)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
解析：选A法一：(化边为角)由正弦定理知：
sin A＝2sin Bcos C，又A＝π－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又∵B、C为三角形内角，∴B＝C.
法二：(化角为边)由余弦定理知cosC＝，
∴a＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，∴b2＝c2，∴b＝c.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
解：(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－，且0<C<π，
所以sinC＝.
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－，及0<C<π得cosC＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±b－12＝0，解得b＝或2，
所以或
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
且cosB＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.
由正弦定理＝，可得＝，所以a＝.
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，
所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
所以a＋c＝2.