2023版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程练习苏教版.doc

9.3 圆的方程
考点一　 求圆的方程 
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
2.(2023·长沙模拟)三点A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 (　　)
A. B. C. D.
3.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5　 D.x2+(y-1)2=5
4.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是 (　　)
A.(x-)2+(y-1)2=4　　 B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4
5.圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,那么圆C的方程为________.  
【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,那么圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==
.
3.选A.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d==2.故所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为=,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),那么有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.
5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得

又令y=0,得x2+Dx+F=0.　③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④
联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
　求圆的方程的两种方法
(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的根本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;
(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:
①假设条件与圆心(a,b)和半径r有关,那么设圆的标准方程,依据条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.
②假设条件没有明确给出圆心或半径,那么选择圆的一般方程,依据条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
【秒杀绝招】　第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以xM ′=
2cos 60°=1,yM ′=2sin 60°=.
考点二　与圆有关的轨迹问题 
【典例】1.(2023·贵阳模拟)圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,那么这些弦的中点P的轨迹方程为________. 
2.直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程.
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到中点想到中点坐标公式
2
看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者向量的数量积为0
【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).
因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.
又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).
所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.
所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.
方法二:由得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.
所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.
答案:+(y-2)2=
2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
　求与圆有关的轨迹问题的方法:
(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;
(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;
(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;
(4)代入法,找到要求点与点的关系,代入点满足的关系式等.
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
【解析】如下图,
设P(x,y),N(x0,y0),那么线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=.从而
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).
考点三　与圆有关的最值问题 
命
题
精
解
读
考什么:(1)圆的几何性质;(2)根本不等式;(3)函数的单调性.
怎么考:以选择题或填空题的形式考查
新趋势:(1)借助几何性质求解.(2)建立函数关系求解.
学
霸
好
方
法
方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0.
1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.
2.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.
利用几何法求最值
【典例】1.(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系xOy中,(x1-2)2+=5,
x2-2y2+4=0,那么(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为 (　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选B.由得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.
2.(2023·聊城模拟)M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,
(1)求m+2n的最大值.
(2)求的最大值和最小值.
【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,
设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,
因为该直线与圆有公共点,
所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,
所以,所求的最大值为16+2.
(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,那么=k.
由直线MQ与圆C有公共点,
所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.
用代数法求最值
【典例】1.假设点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,那么|PA|+|PB|的最大值为(　　)
A.2　 B.2　 C.4　 D.4
【解析】选B.由得,线段AB为圆的直径.
所以|PA|2+|PB|2=4,
由根本不等式得
≤=2,
当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.
2.圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程.
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
【解析】(1)设圆心C(a,b),由得M(-2,-2),那么解得
那么圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),那么x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos θ,y=sin θ,
所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
又=-1,
所以·的最小值为-4.
1.(2023·厦门模拟)两点A(0,-3),B(4,0),假设点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,那么△ABP的面积的最小值为 (　　)
A.6　 B. C.8　 D.
【解析】选B.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,那么圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,
连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=,
又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.
2.点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,那么的最大值与最小值分别为________. 
【解析】设=k,那么k表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率.当直线PA与圆相切时,k取得最大值与最小值.设过(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±.
答案:,-
1.点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,那么|PN|-|PM|的最大值是 (　　)
A.-1　 B.2　 C.3　 D.
【解析】选B.易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),那么
|PN|-|PM|≤-
=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.
(此时|PN|最大,|PM|最小)
2.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),那么·的最大值为________. 
【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.
答案:12
3.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),那么|PQ|的最小值为________. 
【解析】函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的局部,令点Q的坐标为(x,y),那么得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如下图,
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=
=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
答案:-2
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