2023版高考数学一轮复习第九章立体几何9.6利用空间向量讨论平行与垂直练习理北师大版.doc
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1、9.6 利用空间向量讨论平行与垂直核心考点精准研析考点一利用空间向量证明空间的平行问题1.以下四组向量是平面, 的法向量,则能判断,平行的是()a=(1,2,1),b=(1,-2,3)a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)a=(0,1,-1),b=(0,-3,3)a=(18,19,20),b=(1,-2,1)A.B.C.D.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上
2、,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1) B.,1C.,1 D.,14.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,已知,则x+y=_.【解析】1.选B.因为在中a=2b,所以ab,所以,-3a=b,所以,而a不平行于b,所以不平行于,所以只有能判断,平行.2.选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以=0.所以.因为是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.3.选C.建系如图,
3、则A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(a,a,1),则=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一个法向量n=(1,1,),因为AM平面BDE,所以n=0,可得a=,M的坐标为,1.4.因为,所以vu,所以=,所以所以x+y=.答案:1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法向量平行.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平
4、面的法向量.秒杀绝招结合线面平行的性质定理解T3:设AC与BD相交于O点,连接OE,因为AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,所以AMEO,又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为,1.考点二利用空间向量证明空间的垂直问题命题精解读1.考什么:(1)考查利用空间向量证明线面、面面垂直问题.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.2.怎么考:与空间图形中与垂直有关的定理结合考查利用空间向量证明空间的垂直问题.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与证明空间角综合命题.学霸好方
5、法1.证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法较为灵活方便.2.交汇问题: 一般先证明线面、面面垂直,再求线面角或二面角.证明线面垂直【典例】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明:(1)AECD.(2)PD平面ABE.【证明】AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).(1)因为ABC=60,所以ABC为正三角形,所以C,0,
6、E,.设D(0,y,0),由ACCD,得 =0,即y=,则D0,0,所以=-,0.又 =,所以 =-+0=0,所以,即AECD.(2)方法一:因为P(0,0,1),所以=0,-1.又 =0+(-1)=0,所以,即PDAE.因为=(1,0,0),所以 =0.所以PDAB,又ABAE=A,所以PD平面AEB.方法二:=(1,0,0),=,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-).因为=0,-1,显然=n.因为n,所以平面ABE,即PD平面ABE.向量法证明线面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)将线面垂直的判定定理用向量表示.(2)证明直线的方向向量
7、与平面的法向量共线.证明面面垂直【典例】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),所以=(0,3,4)(-8,0,0)=0,所以,即APBC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且点M在
8、线段AP上,所以=0,又=(-8,0,0),=(-4,5,0),=(-4,-5,0),所以=+=-4,-,则=(0,3,4)-4,-,=0,所以,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,且BMBC=B,所以AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.向量法证明面面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)利用面面垂直的判定定理,证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量.(2)证明两平面的法向量互相垂直.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:(1)EF平面PAB.(2)平
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