高优指导2021版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法初步与复数53归纳与类比考点规范练文北师大版.doc

考点规范练53　归纳与类比
　考点规范练A册第42页　 
基础巩固组
1.下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;
④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n边形的内角和是(n-2)·180°.

A.①② B.①③
C.①②④ D.②④
答案:C
解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.
2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=lox是对数函数(小前提),所以y=lox是增函数(结论)”,以上推理的错误是(　　)
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提均错误导致结论错误
答案:A
解析:当a>1时,函数y=logax是增函数;
当0<a<1时,函数y=logax是减函数.故大前提错误导致结论错误.
3.(2015山东临沂模拟)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=(　　)
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
答案:D
解析:由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).
4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于(　　)
A.28 B.76
C.123 D.199
答案:C
解析:从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,满足Sn++2=an(n≥2),则S2 015=(　　)
A.- B.-
C.- D.-〚导学号32470543〛
答案:D
解析:利用归纳推理求解.
由Sn++2=an=Sn-Sn-1,
得=-Sn-1-2(n≥2).
又S1=a1=-,
所以S2=-,S3=-,S4=-.
由归纳推理可得S2 015=-.
6.(2015浙江,文8)设实数a,b,t满足|a+1|=|sin b|=t.(　　)
A.若t确定,则b2唯一确定
B.若t确定,则a2+2a唯一确定
C.若t确定,则sin唯一确定
D.若t确定,则a2+a唯一确定
答案:B
解析:当t=0时,sin b=0,即b=kπ,k∈Z,所以b2不确定,故A错;
sin=sin=0或1或-1,故C错;
当t=2时,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D错;
因为|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;当t确定时,t2-1唯一确定,即a2+2a唯一确定,故B正确.
7.(2015郑州模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(　　)

A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014〚导学号32470544〛
答案:B
解析:根据题干图所示的规则排列,设第一层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.
由9a+104=2 012,得a=212,是自然数.故选B.
8.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为　　　　　. 
答案:A
解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.
9.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=　　　　　. 
答案:
10.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　　.〚导学号32470545〛 
答案:6
解析:根据题意可分四种情况:
(1)若①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;
(2)若②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4);
(3)若③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);
(4)若④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2).
所以共有6个.
故答案为6.
11.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)若两角是对顶角,则此两角相等,∠1和∠2是对顶角,则∠1=∠2;
(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等.
解:(1)若两角是对顶角,则此两角相等,(大前提)
∠1和∠2是对顶角,(小前提)
∠1=∠2.(结论)
(2)矩形的对角线相等,(大前提)
正方形是矩形,(小前提)
正方形的对角线相等.(结论)
12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
证明:∵△ABC为锐角三角形,
∴A+B>,∴A>-B,
∵y=sin x在上是增函数,
∴sin A>sin=cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,
∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
能力提升组
13.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有(　　)
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人〚导学号32470546〛
答案:B
解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.
14.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是(　　)
①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);
③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
A.①② B.③④
C.①④ D.②③〚导学号32470547〛
答案:B
解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到
2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)
=2(ax+y-a-x-y),
因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
15.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为　　　　　. 
答案:f2 014(x)=
解析:由f1(x)=⇒f2(x)=f;又可得f3(x)=f(f2(x))=,
故可猜想f2 014(x)=.
16.观察下列等式:
32+42=52,
102+112+122=132+142,
212+222+232+242=252+262+272,
362+372+382+392+402=412+422+432+442,
……
由此得到第n(n∈N+)个等式为　. 
答案:(2n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+n+n+1)2+(2n2+n+n+2)2+…+(2n2+n+2n)2
解析:第一式的第一个数为1×3;第二式的第一个数为2×5;第三式的第一个数为3×7,故第n式的第一个数为n×(2n+1),每一式有(2n+1)个数,且等号右边n个,等号左边(n+1)个,故满足条件的第n个等式为(2n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+n+n+1)2+(2n2+n+n+2)2+…+(2n2+n+2n)2.
17.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,
(1)求函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心;
(2)计算f+f+f+f+…+f.
解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,
由f″(x)=0,即2x-1=0,
解得x=.
f+3×=1.
由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.
(2)由(1),知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,
所以f+f=2,
即f(x)+f(1-x)=2.
故f+f=2,
f+f=2,
f+f=2,
……
f+f=2.
所以f+f+f+f+…+f×2×2 014=2 014.

4