2022高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变异及分布列第5讲古典概型课时作业含解析新人教B版.doc

古典概型
课时作业
1．(2022·中山摸底)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，假设每个球被抽到的时机均等，那么该人抽到的球颜色互异的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　根本领件总数为C＝220(种)，该人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为＝.应选D.
2．假设有2位老师，2位学生站成一排合影，那么每位老师都不站在两端的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　依题意，所求概率为P＝＝.应选B.
3．(2022·贵州贵阳摸底)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛工程，4位长跑爱好者各自任选一个工程参加比赛，那么这三个工程都有人参加的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根本领件总数n＝34＝81，这三个工程都有人参加所包含的根本领件个数m＝CA＝36，故这三个工程都有人参加的概率为P＝＝＝.
4．(2022·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为＝，选C.
5．(2022·湖南益阳调研)a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，那么函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　假设函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，那么a2－2<0，且与b的值无关，解得－<a<，∵a∈{－2,0,1,2,3}，∴a∈{0,1}，∴函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是.
6．(2022·山西大同联考)从1,2,3,4,5这5个数中一次性随机地取两个数，那么所取两个数之和能被3整除的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从1,2,3,4,5这5个数中一次性随机地取两个数，共有C＝10种取法，其中所取两个数之和能被3整除包含(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)4种取法，所以所求概率为＝，选A.
7．(2022·海淀模拟)袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地取三次，那么三次颜色各不相同的概率为(　　)
A. B.
C. D．1
答案　C
解析　每次取球都有3种方法，共有33＝27种不同结果，即27个根本领件，记事件A为“三次颜色各不相同〞，那么P(A)＝＝.
8．(2022·山东潍坊期末)四色猜测是世界三大数学猜测之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．〞用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1,2,3,4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．〞如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1,2,3,4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丧失．假设在该四色地图上随机取一点，那么恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　A，B只能有一个可能为1，题目求恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中的最大值，令B为1，那么总数有30个，1号有10个，那么概率为，应选C.
9．(2022·福建宁德质检)?孙子算经?是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？〞意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？〞现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，那么从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作＝216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，所以从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率P＝＝.应选C.
10．(2022·山东济宁二模)甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如下图的茎叶图加以比拟(成绩均为整数，总分值100分)，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是总分值，那么甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，得甲＝＝90，设被污损的数字为x，那么乙＝
＝89＋，满足题意时，甲>乙，即90>89＋⇒x<6，即x可能的取值为0,1,2,3,4,5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值P＝＝.应选C.
A. B. C. D.
答案　D
解析　只考虑A，B两个方格的排法．不考虑大小，A，B两个方格有CC＝16种排法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，那么从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有C＝6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为＝，选D.
12．(2022·江西九江模拟统考)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦〞，而龙马身上的图案就叫做“河图〞．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，那么能成为两组的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　现从这十个数中随机抽取四个数，根本领件总数n＝C，能成为两组的根本领件个数m＝C，那么能成为两组的概率是P＝＝＝.应选C.
13．(2022·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，那么星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
答案　
解析　设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A＝12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A·A＝4种情况，那么所求的概率为P＝＝.
14．(2022·广州模拟)在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，假设从袋中任意取两个，那么编号的和是奇数的概率为________(结果用最简分数表示)．
答案　
解析　从袋中任意取两个球，共有C＝10种．假设编号的和为奇数，那么有CC＝6种，所以编号的和是奇数的概率为＝.
15．某人在微信群中发了一个7元“拼手气〞红包，被甲、乙、丙三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．
答案　
解析　由题意，得甲、乙、丙领取钱数的所有可能有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，共15种，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6种，所以所求概率为＝.
16．(2022·云南局部校联考)袋中共有7个球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．假设从袋中任取3个球，那么所取3个球中至多有1个红球的概率是________．
答案　
解析　所取3个球中没有红球的概率为P1＝＝，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝＝，那么所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝.
17．(2022·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率．
解　(1)∵有放回地抽取3次，
∴总的结果有：3×3×3＝27种，
设“抽取卡片上的数字满足a＋b＝c〞为事件A，那么事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)共3种，
∴概率P(A)＝＝.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞为事件B，那么事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率为.
18．某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出频率分布直方图如下图．
(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；
(2)假设会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率．
解　(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，
＝2.5×0.01×5＋7.5×0.01×5＋12.5×0.04×5＋17.5×0.02×5＋22.5×0.04×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＋37.5×0.02×5＝22，
所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.
(2)由频率分布直方图知，第一类备选班级有2个，第二类备选班级有3个，从这5个备选班级中选出两个班共有C种情况，其中两类备选班级均有班级被选中的情况有CC种，故两类备选班级中均有班级被选中的概率P＝＝＝.
19．8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组4支，求：
(1)A，B两组中有一组恰好有2支弱队的概率；
(2)A组中至少有2支弱队的概率．
解　(1)解法一：3支弱队在同一组中的概率为
×2＝，
故有一组恰好有2支弱队的概率为1－＝.
解法二：A组恰有2支弱队的概率为，B组恰好有2支弱队的概率为.
所以有一组恰好有2支弱队的概率为
＋＝.
(2)解法一：A组中至少有2支弱队的概率为
＋＝.
解法二：A，B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件)．由于对A组和B组而言，至少有2支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有2支弱队的概率为.
20．(2022·陕西咸阳模拟)在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位效劳，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位效劳的概率．
解　(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位效劳〞为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位效劳的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位效劳〞为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位效劳的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)有两人同时参加A岗位效劳的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位效劳的概率P1＝1－P2＝.