2022高考数学一轮复习课后限时集训34等差数列及其前n项和理.doc

课后限时集训34
等差数列及其前n项和
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一、选择题
1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
B　[由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.]
2．(2019·峨眉山模拟)在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　)
A．66 B．132
C．－66 D．－132
D　[因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，
又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，
S11＝＝＝－132，故选D.]
3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
D　[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D.]
4．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为(　　)
A．15 B．21
C．23 D．25
D　[由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.
∴λ＝＝＝＝25，故选D.]
5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C　[∵|a6|＝|a11|且公差d>0，
∴a6＝－a11.
∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，
且a8<0，a9>0
∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…
∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.]
二、填空题
6．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝____________.
4　[设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.]
7．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
16　[由题意可得：

解得
则S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.]
8．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是________．(填序号)
①③　[a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，故①正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最大，故②错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，故③正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为0，故④错误．
所以正确的是①③.]
三、解答题
9．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
10．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[解]　(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，
Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N＋}．

1．(2019·开福区校级模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　)
A．1.5尺 B．2.5尺
C．3.5尺 D．4.5尺
B　[设此等差数列{an}的公差为d，
则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋d＝85.5，
解得d＝－1，a1＝13.5.则a12＝13.5－11＝2.5.故选B.]
2．(2019·深圳模拟)若{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)
A．2 018 B．2 019
C．4 036 D．4 037
C　[{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2 018＞0，a2 019＜0，因为a2 018＋a2 019＝a1＋a4 036＞0，
2a2 019＝a1＋a4 037＞0，
∴S4 036＝×4 036＞0，S4 037＝×4 037＜0，
所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 036.故选C.]
3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，
∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.]
4．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.
(1)设函数y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图像与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解]　(1)证明：由题意得an＝8－2n，
因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，
所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．
(2)由题意得bn＝|8－2n|.
由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，
可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．
所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，
当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.
故Sn＝

1．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　)
A．1 290 B．1 280
C．1 281 D．1 821
C　[由已知可得－1＝2，
又－1＝a1－1＝1，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，
故 a9＝10×128＋1＝1 281.]
2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
[解]　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有
2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.