高优指导2021版高考数学一轮复习第九章解析几何44双曲线考点规范练文北师大版.doc

考点规范练44双曲线考点规范练B册第32页基础巩固组1.(2015安徽,文6)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是() A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=1答案:A解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=2x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=x,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=x,因此A正确.2.已知00,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1答案:D解析:由题意知,双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-=1.4.(2015课标全国,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.答案:A解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),=(-x0,-y0),=(-x0,-y0),-30.又=1,=2+2.代入得,-y00,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.4D.导学号32470815答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3=4,解得=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.6.过双曲线C:=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,又c2=a2+b2,则c=2a,即a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为=1,故选A.7.已知双曲线=1的一个焦点是(0,2),椭圆=1的焦距等于4,则n=.答案:5解析:因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).8.(2015江西宜春奉新一中模拟)我们把离心率e=的双曲线=1(a0,b0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:(1)双曲线x2-=1是黄金双曲线;(2)若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;(3)若MN经过右焦点F2且MNF1F2,MON=90,则该双曲线是黄金双曲线;(4)若F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且F1B1A2=90,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.导学号32470816答案:(1)(2)(3)(4)解析:(1)双曲线x2-=1中,e=,双曲线x2-=1是黄金双曲线,故(1)正确;对于(2),b2=ac,则e=,e2-e-1=0,解得e=或e=(舍),该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;对于(3),如图,MN经过右焦点F2,且MNF1F2,MON=90,NF2=OF2,=c,b2=ac.由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确;对于(4),如图,F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且F1B1A2=90,B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a0,b0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率e;(2)求双曲线C的方程.解:(1)设双曲线C:=1过第一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的倾斜角为60,则2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+,所以e=.(2)由于,于是设双曲线方程为=1(k0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-33(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2,解得k2=1.故所求双曲线C的方程为-y2=1.10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.所以W的方程为=1(x).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,从而=x1x2+y1y2=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x1+x2=,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=+m2=2+.又因为x1x20,所以k2-10.所以2.综上所述,当ABx轴时,取得最小值2.能力提升组11.(2015河北保定二模)已知双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线都与圆(x-c)2+y2=ac(其中c=)相切,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.导学号32470817答案:D解析:取双曲线的渐近线y=x,即bx-ay=0.双曲线=1(a0,b0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,化为b2=ac,即ac=c2-a2,化为e2-e-1=0.e1,e=.12.(2015四川,文7)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.B.2C.6D.4答案:D解析:双曲线x2-=1的两条渐近线方程为y=x,右焦点为F(2,0)如图所示.根据题意,由得A(2,2).同理可得B(2,-2).所以|AB|=4,故选D.13.已知圆M经过双曲线S:=1的一个顶点和一个焦点,圆心M在双曲线S上,则圆心M到双曲线S的中心的距离为.导学号32470818答案:解析:设圆心M的坐标为(x0,y0),若圆M经过双曲线中心同一侧的焦点和顶点,以右焦点F和右顶点A为例,由|MA|=|MF|知,x0=4,代入=1可得y0=,故M到双曲线S的中心的距离|MO|=,若圆M经过双曲线中心异侧的焦点和顶点,此时圆心M不在双曲线上,故不满足题意,所以答案为.14.如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a10,b10)和椭圆C2:=1(a2b20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=2.于是a2=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(),B(,-),所以|=2,|=2.此时,|.当x=-时,同理可知,|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,于是+2-2,即|2|2,故|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.导学号3247081915.已知双曲线E:=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解:(方法一)(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=,由SOAB=|OC|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.(方法二)(1)同方法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-m.由得y1=,同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由SOAB=|OC|y1-y2|=8,得|t|=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由得,(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-12或k-2.由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,所以x1x2=,又因为OAB的面积为8,所以|OA|OB|sinAOB=8,由已知sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k20,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为=1.当lx轴时,由OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.导学号324708206