高优指导2021高考数学一轮复习滚动测试卷2理含解析北师大版.doc

滚动测试卷二(第一~五章)
(时间:120分钟　满分:150分)
　滚动测试卷第5页　 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015东北三省四市联考)设集合M={x|-2<x<3},N={x|2x+1≤1},则M∩(∁UN)=(　　)

A.(3,+∞) B.(-2,-1]
C.(-1,3) D.[-1,3)
答案:C
解析:由已知,得M={x|-2<x<3},N={x|x≤-1},∁UN={x|x>-1},
则M∩(∁UN)={x|-1<x<3},故选C.
2.(2015汕头一模)已知命题p:存在x∈R,x-2>lg x,命题q:任意x∈R,ex>1,则(　　)
A.命题p且q是假命题
B.命题p且q是真命题
C.命题p且(􀱑q)是真命题
D.命题p或(􀱑q)是假命题
答案:C
解析:取x=10,得x-2>lg x,则命题p是真命题;取x=-1,得ex<1,命题q是假命题,􀱑q是真命题,故选C.
3.(2015河北邢台一模)先把函数f(x)=sin的图像上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图像向右平移个单位,得到y=g(x)的图像.当x∈时,函数g(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D.[-1,0)
答案:A
解析:依题意得g(x)=sin=sin,
当x∈时,2x-,sin,此时g(x)的值域是.选A.
4.(2015长沙模拟)关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:
①若a·b=a·c,则a=0或b=c;
②若a=(1,k),b=(-2,6)且a⊥b,则k=;
③非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,可得a=0或b=c或a⊥(b-c),即命题①不正确;若a=(1,k),b=(-2,6)且a⊥b,则a·b=-2+6k=0,得k=,即命题②正确;非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则可得出一个等边三角形,且a与a+b的夹角为30°,即命题③正确.综上可得,真命题有2个.
5.若a>0且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是(　　)
A.p=q
B.p<q
C.p>q
D.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q
答案:C
解析:当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数.
∴a3+1<a2+1.
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q;
当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数.
∴a3+1>a2+1.
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.
综上可得p>q.
6.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足(　　)
A.f(a)=0 B.f(a)<0
C.f(a)>0 D.f(a)的符号不确定
答案:C
解析:f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,
∴f(a)>f(x0)=0.

7.(2015沈阳模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像如图所示,则=(　　)
A.8 B.-8
C.-8 D.-+8
答案:C
解析:由图像知,T=4=π,
所以xA==-,xD=π.
故-8.
8.设函数f(x)=ax3+3x,其图像在点(1,f(1))处的切线l与直线x-6y-7=0垂直,则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.1 B.3 C.9 D.12
答案:B
解析:f'(x)=3ax2+3,由题设得f'(1)=-6,
∴3a+3=-6.解得a=-3.
∴f(x)=-3x3+3x,f(1)=0,切线l的方程为y-0=-6(x-1),即y=-6x+6.
∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=×1×6=3.
故选B.
9.(2015山西四诊)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(　　)
A.a=c B.b=c
C.2a=c D.a2+b2=c2
答案:B
解析:在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=,
又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,
则B=,或B=,
当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;
当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.
10.(2015南宁模拟)在直角三角形ABC中,C=,AC=3,取点D,E,使=2=3,那么=(　　)
A.3 B.6 C.-3 D.-6〚导学号92950971〛
答案:A
解析:(方法一)由=2,
故
=)=.
又)
=,
故=()·
=
=.
因为C=,所以=0,又AC=3,
所以×9=3.
(方法二)建立如图所示直角坐标系,得C(0,0),A(3,0),B(0,y),

则由已知得D为AB的一个三等分点,故D,
又=3,故E.
所以=(3,0),
所以=6-3=3.
11.(2015河南开封模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:C
解析:由cos B=,0<B<π得sin B=.
又=2得=2,即c=2a.
由S△ABC=acsin B=a2·,得a=1.所以c=2.
由b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=4得,b=2.
12.(2015河北衡水中学一调)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则向量a与b的夹角的范围是(　　)
A. B.
C. D.〚导学号92950972〛
答案:C
解析:设a与b的夹角为θ.∵f(x)=x3+|a|x2+a·bx,
∴f'(x)=x2+|a|x+a·b.
∵函数f(x)在R上有极值,
∴方程x2+|a|x+a·b=0有两个不同的实数根,
即Δ=|a|2-4a·b>0,∴a·b<,
又∵|a|=2|b|≠0,∴cos θ=,
即cos θ<,
又∵θ∈[0,π],∴θ∈,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015河北唐山高三二模)已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是　　　　　. 
答案:150°
解析:因为(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,
可知a与b的夹角的余弦值为=-.则a与b的夹角为150°.
14.(2015长春模拟)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,a+b=9,则c=　　　　　.〚导学号92950973〛 
答案:6
解析:由,即a·b·cos C=,得ab=20,
又a+b=9,所以c2=a2+b2-2abcos C
=(a+b)2-2ab-2ab·=36.
所以c=6.
15.(2015北京东城区质量检测)已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=　　　　　. 
答案:8
解析:由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,
∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),
∴|c|==8.
16.函数f(x)=x3-x2-3x-1的图像与x轴的交点个数是　　　　　. 
答案:3
解析:f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),函数在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数,由f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)=>0,知函数f(x)的图像与x轴的交点个数为3.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)在矩形ABCD中,边AB,AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足,求的取值范围.

解:如图所示,
设=λ(0≤λ≤1),
则=λ=λ=(λ-1),
∴=()·()=(+λ)·[+(λ-1)]
=(λ-1)+λ
=4(1-λ)+λ=4-3λ,
∴当λ=0时,取得最大值4;
当λ=1时,取得最小值1.
∴∈[1,4].
18.(12分)(2015山东实验中学模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.

(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最大值,并确定此时x的值.
解:(1)由题图知A=2,,则=4×,
∴ω=.
又f=2sin=2sin=0,∴sin=0,
∵0<φ<,-<φ-,
∴φ-=0,即φ=,
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)由(1)可得f=2sin
=2sin,
g(x)==4×
=2-2cos,
∵x∈,
∴-≤3x+,
∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.〚导学号92950974〛
19.(12分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.
(1)解:因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.
(2)解:由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),
得|b+c|=
=≤4.
又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,
所以|b+c|的最大值为4.
(3)证明:由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,
所以a∥b.
20.(12分)(2015陕西,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解:(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0.
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.
又sin B≠0,从而tan A=.
由于0<A<π,所以A=.
(2)(方法一)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
(方法二)由正弦定理,得,从而sin B=.
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin.
所以△ABC的面积为absin C=.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.
当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,
解得a=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,
则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),
由f'(x)>0,得x<-,或x>1;
由f'(x)<0,得-<x<1.
所以f(x)的单调递增区间是和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex,有g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex,
因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,
所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.
只要h(2)≥0,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).〚导学号92950975〛
22.(12分)已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.
解:(1)因为f'(x)=x-(x>0),
又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,
所以
解得a=2,b=-2ln 2.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.
(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.
当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.
因为f(1)=>0,f()=-1<0,
所以方程有唯一解.
当a>0时,f'(x)=x-.
因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;
当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.
所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-alna(1-ln a).
当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;
当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,
此方程有唯一解x=.
当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,
因为f>0且>1,
所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.
因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,
所以x>ln x.f(x)=x2-aln x>x2-ax.
因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,
所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.
所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.
综上,当a∈[0,e)时,方程无解;
当a<0或a=e时,方程有唯一解;
当a>e时,方程有两解.〚导学号92950976〛

6