2022年高考江苏卷数学.docx

2021 年普通高考学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 I
𝑛 𝑛
参考公式：
(1)样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的方差𝑠2=1𝑛ඉ(𝑥𝑖−𝑥)2，其中𝑥=1𝑛ඉ
𝑥𝑖．
𝑖=1

(2) 直棱柱的侧面积𝑆=𝑐ℎ，其中𝑐为底面周长，ℎ为高．
(3) 棱柱的体积 𝑉= 𝑆ℎ，其中 𝑆为底面积，ℎ 为高．
𝑖=1
一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分, 共 70 分．请把答案填写在答⋅ 题⋅ 卡⋅ 相⋅ 应⋅ 位⋅ 置⋅ 上⋅ ．
Read 𝑎, 𝑏
If 𝑎𝑚>←𝑏 T𝑎hen
Else𝑚 ← 𝑏
Print 𝑚
End If
2. 函数 𝑓(𝑥) = log5(2𝑥 + 1) 的单调增区间是 .
1.已知集合𝐴={−1,1,2,4}，𝐵={−1,0,2}，则𝐴∩𝐵=.
3. 设复数 𝑧
满足 i(𝑧+ 1)= −3+ 2i（i
是虚数单位），则 𝑧

的实部是.
4. 根据如图所示的伪代码，当输入𝑎,𝑏分别为2,3时，最后输出的𝑚的值为 ．
这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是
5. 从 1,2,3,4
． 2 (ø4 ี‰)
6.某老师从星期π一到星期五t收an到𝑥的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差𝑠=．
7. 已知tan(𝑥+4)=2，则tan2𝑥的值为． 2
𝑂
√2
π
3 12
𝑥
𝑥
9. 函数 𝑓(𝑥) 𝑓=(0𝐴) sin(𝜔𝑥 + 𝜑) (𝐴, 𝜔, 𝜑 为常数，𝐴 > 0，𝜔 > 0) 的部分图象如图
8.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，过坐标原点的一条直线与函数𝑓(𝑥)= 的图象交于𝑃,𝑄两点，则线段𝑃𝑄长的最小值是．
，则实数 𝑘 的值为 .
所示，则
的值是 ．
10.已𝒂⋅知𝒃=𝒆10,𝒆2是夹角为23π的两个单位向量，𝒂=𝒆1−2𝒆2，𝒃=𝑘𝒆1+𝒆2．若
⎧⎪2𝑥+𝑎,𝑥<1,

(ø9 ี‰)
11.已知实数𝑎≠0，函数𝑓(𝑥)=⎨⎪⎩−𝑥−2𝑎,𝑥⩾1.若𝑓(1−𝑎)=𝑓(1+𝑎)，则𝑎的值为．
交 𝑦 轴于点 𝑀 ．过点 𝑃 作 𝑙 的垂线交 𝑦 轴于点 𝑁 ．设线段 𝑀𝑁 的中点的纵坐标为 𝑡，则 𝑡 的最大值是
12. 𝑙在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，已知 𝑃 是函数 𝑓(𝑥) = e𝑥 (𝑥 > 0) 的图象上的动点，该图象在点 𝑃 处的切线
.
最小值是 ．
，则实数 𝑚 的取值范围是 ．
13. 设 1= 𝑎1 ⩽ 𝑎2 ⩽ ⋯ ⩽ 𝑎7，其中 𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, 𝑎7成公比为 𝑞 的等比数列，𝑎2, 𝑎4, 𝑎6成公差为 1的等差数列，则 𝑞 的
14.设∅集合𝐴=඼(𝑥,𝑦)|𝑚2⩽(𝑥−2)2+𝑦2⩽𝑚2,𝑥,𝑦∈𝐑ල,𝐵={(𝑥,𝑦)|2𝑚⩽𝑥+𝑦⩽2𝑚+1,𝑥,𝑦∈𝐑}．若𝐴∩𝐵≠
步骤．
二. 解答题: 本大题共 6小题，共计 90分．请在答⋅ 题⋅ 卡⋅ 指⋅ 定⋅ 区⋅ 域⋅ 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
15. (本小题满分 14 分)

在△𝐴𝐵𝐶中，π角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐．
(1) 若 sin(𝐴 + 61) = 2 cos 𝐴，求 𝐴 的值；
(2)若cos𝐴=3，𝑏=3𝑐，求sin𝐶的值．
16. (本小题满分 14分)
𝐸, 𝐹 𝐴𝑃, 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴如𝐷图=，60在∘
四棱锥 𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，平面 𝑃𝐴𝐷 ⟂ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，
𝐸
𝐹
𝐵
𝐶
， 分别是 的中点．
(1) 求证：直线 𝐸𝐹 ⫽ 平面 𝑃𝐶𝐷；
(2) 求证：平面 𝐵𝐸𝐹 ⟂ 平面 𝑃𝐴𝐷．

𝐴 𝐷
(ø16 ี‰)
17. (本小题满分 14 分)

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑃
请你设计一个包装盒．如图所示，𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的
包装盒．𝐸,𝐹 在 𝐴𝐵上，是被切去的一个等2 腰直角三角形斜边的两个端点．设 𝐴𝐸= 𝐹𝐵= 𝑥（cm）．
(1) 某广告商要求包装盒的侧面积 （3 cm ）最大，试问 应取何值？
𝑆 𝑥
(2) 某厂商要求包装盒的容积 𝑉（cm ）最大，试问 𝑥应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
𝐴 𝑥

𝐸 𝐹
60 ⇨
𝑃
𝑥 𝐵
(ø17 ี‰)
𝑥𝑂𝑦 𝑀, 𝑁
18. (本小题满分 16分)
𝑃𝐴 𝑘
𝑃 𝑥 𝐶 𝐴𝐶 𝐵
如图，在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆
𝑥42+
𝑦22=1
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于𝑃,𝐴两点，其中𝑃在第一象限． 过 作 轴的垂线，垂足为 ．连接 ，并延长交椭圆于点 ．设
直线 的斜率为 ．

(1) 若直线 𝑃𝐴 平分线段 𝑀𝑁，求 𝑘 的值；
(2) 当 𝑘 = 2时，求点 𝑃 到直线 𝐴𝐵 的距离 𝑑；
(3) 对任意的 𝑘 > 0，求证：𝑃𝐴 ⟂ 𝑃𝐵．

𝑀
𝐴
𝑂

𝑁
𝑃
𝐶 𝐵 𝑥
(ø18 ี‰)
19. (本小题满分 16 分)

在区间 𝐼 上恒成立，则称 𝑓(𝑥) 和 𝑔(𝑥) 在区间 𝐼 上单调性一致．
𝑓ດ(𝑥)已𝑔ດ(知𝑥)𝑎⩾,𝑏0是实数，函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥，𝑓ດ(𝑥)和𝑔ດ(𝑥)分别是𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的导函数．若
(1) 设 𝑎> 0．若 𝑓(𝑥)和 𝑔(𝑥)在区间 [−1,+∞) 上单调性一致，求 𝑏的取值范围；
|𝑎 − 𝑏|
(2)设𝑎<0且𝑎≠𝑏．若𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)在以𝑎,𝑏为端点的开区间上单调性一致，求||的最大值．
20. (本小题满分 16 分)

𝑛 > 𝑘 𝑆 + 𝑆 = 2(𝑆 + 𝑆 )
𝑀 = {1} 𝑎 = 2 𝑎
(1) 设 ， 2 ，求 5 的值；
设𝑀为部分正整数组成的集合，数列൳𝑎𝑛൴的首项𝑎1=1，前𝑛项的和为𝑆𝑛．已知对任意的整数𝑘∈𝑀，当整数 时，𝑛+𝑘 𝑛−𝑘 𝑛 𝑘都成立．
(2) 设 𝑀 = {3,4}，求数列 ൳𝑎𝑛൴ 的通项公式．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 II（附加题）
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1. 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题 ∼ 第 23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
，
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修 4 – 1:几何证明选讲
𝐶

𝑂1 𝑂2

(ø 21−A ี‰)
𝑂如图，圆𝑂1与圆𝑂2内切于点𝐴，其半径分别为𝑟1与𝑟2(𝑟1>𝑟2)．圆
(本小题满分 10 分)
1 的弦 𝐴𝐵 交圆 𝑂2于点 𝐶（𝑂1不在 𝐴𝐵 上）．求证：𝐴𝐵 ∶ 𝐴𝐶 为定值．
𝐴
B. 选修 4 – 2:矩阵与变换
(本小题满分10分1) 1 1 2
已知矩阵 𝑨 = ย21ร，向量 𝜷 = ย2ร．求向量 𝜶，使得 𝑨 𝜶 = 𝜷 ．
C. 选修 4 – 4:坐标系与参数方程
(本小题满分 10 分)
⎧⎪𝑥=5cos𝜑,
⎧⎪𝑥=4−2𝑡,
（𝑡 为参数）平行的直线的普通方程．
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，求过椭圆⎨⎪⎩𝑦=3sin𝜑（𝜑为参数）的右焦点，且与直线⎨⎪⎩𝑦=3−𝑡
(本小题满分 10 分)
D. 选修 4 – 5:不等式选讲
解不等式𝑥+|2𝑥−1|<3．
1
𝐵1
𝐷
𝐵
𝑁
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分 10分)
𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1
𝐴𝐴1=2
𝐴𝐵=1 𝑁
𝐶1
的中点∘，点𝑀在𝐶𝐶1上．设二面角𝐴1−𝐷𝑁−𝑀的大小为𝜃．
𝐴1
√6
(1) 当 𝜃 = 90
(2) 当 cos𝜃=
时，求 𝐴𝑀 的长；
6 时，求 𝐶𝑀 的长．

𝑀
𝐶
𝐴
(ø22 ี‰)
23. (本小题满分 10 分)

(1) 记 𝑛 为满足 1 的点 的个数，求 𝑛；
设整数 𝑛 ⩾ 4，𝑃(𝑎,𝑏) 是平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中的点，其中 𝑎,𝑏 ∈ {1,2,3, ⋯ , 𝑛}，𝑎 > 𝑏 ．
𝐴 𝑎−𝑏=3 𝑃 𝐴
(2)记𝐵𝑛为满足3(𝑎−𝑏)是整数的点𝑃的个数，求𝐵𝑛．