高优指导2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用单元质检文北师大版.doc

单元质检三　导数及其应用
(时间:100分钟　满分:150分)
　单元质检卷第6页　 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)

A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒
答案:C
解析:根据瞬时速度的意义,可得3 s末的瞬时速度是
v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.
2.已知函数f(x)=ln x-x,则函数f(x)的递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(-∞,0),(1,+∞) D.(1,+∞)
答案:D
解析:由f(x)=ln x-x,得f'(x)=-1.
令f'(x)=-1<0,又x>0,解得x>1.
3.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为(　　)
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
答案:A
解析:∵y'=,∴曲线在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为y'=2.
∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
4.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)
A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
答案:B
解析:求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值则必须使y'的值有正有负,故m<0.
5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
解析:由f'(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0<x<时,f'(x)<0,f(x)递减;
当x>时,f'(x)>0,f(x)递增.则f+ln 2>0为f(x)的最小值,所以无零点.
6.函数y=f'(x)的图像如图所示,则关于函数y=f(x)的说法正确的是(　　)

A.函数y=f(x)有3个极值点
B.函数y=f(x)在区间(-∞,-4)上是增加的
C.函数y=f(x)在区间(-2,+∞)上是增加的
D.当x=1时,函数y=f(x)取得极大值〚导学号32470578〛
答案:C
解析:由f'(x)的图像知,f(x)的极值点有两个,A错误;f(x)在(-∞,-5)上递增,B错误;x=1不是极值点,D错误.
7.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 015,则不等式exf(x)>ex+2 014(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)
A.(2 014,+∞) B.(-∞,0)∪(2 014,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(0,+∞)〚导学号32470579〛
答案:D
解析:设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),
则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].
∵f(x)+f'(x)>1,
∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上递增.
∵exf(x)>ex+2 014,
∴g(x)>2 014.
又∵g(0)=e0f(0)-e0=2 015-1=2 014,
∴g(x)>g(0),∴x>0.
8.(2015太原一模)已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470580〛
答案:A
解析:∵f(x)=ln x+tan α,
∴f'(x)=,令f(x)=f'(x),
得ln x+tan α=,即tan α=-ln x.
设g(x)=-ln x,显然g(x)在(0,+∞)上递减,而当x→0时,g(x)→+∞,
∴要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tan α>g(1)=1,
又∵0<α<,∴α∈.
9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)〚导学号32470581〛
答案:D
解析:∵当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,
即[f(x)g(x)]'>0,
∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,∴g(-3)=0,
∴f(-3)g(-3)=0.故当x<-3时,f(x)g(x)<0;
由于f(x)g(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0<x<3时,f(x)g(x)<0.
10.(2015浙江温州十校月考)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则(　　)
A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e2 014f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)
D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)〚导学号32470582〛
答案:D
解析:令g(x)=,则g'(x)='
=<0,
所以函数g(x)=在R上是减函数,所以g(1)<g(0),g(2 014)<g(0),
即,
故f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0).
11.(2015福州质量检测)若函数f(x)=x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:若f(x)=x2+x+1在区间上有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图像顶点的横坐标,
由x2-ax+1=0,得a=x+,因为x∈,y=x+的值域是,
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a的取值范围是,故选C.
12.已知函数f(x)=ln x-x+-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数b的取值范围是(　　)
A. B.[1,+∞)
C. D.[2,+∞)〚导学号32470583〛
答案:C
解析:f'(x)=,
令f'(x)=0得x1=1,x2=3∉(0,2).
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)递减;
当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)递增,
所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-.
由于“对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值-”.(*)
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],所以
①当b<1时,因为[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾;
②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4-b2≥0,此时与(*)矛盾;
③当b∈(2,+∞)时,
因为[g(x)]min=g(2)=8-4b,
解不等式8-4b≤-,可得b≥.
综上,b的取值范围是.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为　　　　　. 
答案:3x-y-2=0
解析:y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min=3;当x=-1时,y=-5.
∴切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.
14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.〚导学号32470584〛 
答案:(-∞,-3]
解析:依题意,f'(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,
则∴a≤-3.
15.已知a≤+ln x对于x∈恒成立,则a的最大值为　　　　　.〚导学号32470585〛 
答案:0
解析:设f(x)=+ln x,则f'(x)=,
当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在上递减;
当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上递增,
∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.
16.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则a+b=　　　　　. 
答案:-7
解析:f'(x)=3x2+2ax+b,由x=1时,函数取得极值10,
得
联立①②得
当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1两侧的符号相反,符合题意;当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同,
所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
∴a+b=-7.
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(14分)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:(1)f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a.
由已知有f'(x1)=f'(x2)=0,
从而x1x2==1,所以a=9.
(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0,
所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.
18.(14分)(2015安徽,文21)已知函数f(x)=(a>0,r>0).
(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;
(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
解:(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)=,
f'(x)=
=,
所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.
当-r<x<r时,f'(x)>0.
因此,f(x)的递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的递增区间为(-r,r).
(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)上递增,在(r,+∞)上递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)==100.〚导学号32470586〛
19.(14分)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解:(1)f(x)的导数f'(x)=a-,
当x>时,f'(x)>0,f(x)在上递增;
当0<x<时,f'(x)<0,f(x)在上递减.
所以当x=时,f(x)取最小值为2+b.
(2)f'(x)=a-.
由题设知,f'(1)=a-,
解得a=2或a=-(不合题意,舍去).
将a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.
所以a=2,b=-1.
20.(14分)已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图像在点x=0处的切线为y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
(1)解:∵f(x)=ex-x2+a,
∴f'(x)=ex-2x.
由已知
解得
∴函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.
(2)证明:令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,φ'(x)=ex-1.
由φ'(x)=0,得x=0.
当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)递减;
当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)递增.
∴φ(x)min=φ(0)=0,
从而f(x)≥-x2+x.
(3)解:f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)=,x>0,
则g'(0)=
=
=.
由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,
由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.
故g(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1),
即g(x)min=g(1)=e-2.
∴k<g(x)min=g(1)=e-2,即实数k的取值范围为(-∞,e-2).〚导学号32470587〛
21.(14分)(2015南京调研)已知函数f(x)=ex-m-x,其中m为常数.
(1)若对任意x∈R,有f(x)≥0恒成立,求m的取值范围;
(2)当m>1时,判断f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由.
解:(1)依题意,可知f'(x)=ex-m-1,
令f'(x)=0,得x=m.
故当x∈(-∞,m)时,ex-m<1,f'(x)<0,f(x)递减;
当x∈(m,+∞)时,ex-m>1,f'(x)>0,f(x)递增.
故当x=m时,f(m)为极小值也是最小值.
令f(m)=1-m≥0,得m≤1,
即对任意x∈R,f(x)≥0恒成立时,m的取值范围是(-∞,1].
(2)当m>1时,f(m)=1-m<0.
∵f(0)=e-m>0,f(0)·f(m)<0,且f(x)在(0,m)上递减.
∴f(x)在(0,m)上有一个零点.
又f(2m)=em-2m,令g(m)=em-2m,
则g'(m)=em-2,
∵当m>1时,g'(m)=em-2>0,
∴g(m)在(1,+∞)上递增.
∴g(m)>g(1)=e-2>0,即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一个零点.
故f(x)在[0,2m]上有两个零点

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