指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解).pdf
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1、WORD 格式整理版指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质(一)整数指数幂n1整数指数幂概念:a a a(n N)a01a 0a n个aan1a 0,nNna2整数指数幂的运算性质:(1)aman amnm,nZ(2)a(3)ab a bnnn mn amnm,nZnZ其中a a a amnmn amnan a 1nnn,ab a bnbbn3a的n次方根的概念即:若xn一般地,如果一个数的n次方等于an 1,n N,那么这个数叫做a的n次方根,a,则x叫做a的n次方根,n 1,n N说明:若n是奇数,则a的n次方根记作na;若a 0则na 0,若a o则na 0;若n是偶数,且a 0则a
2、的正的n次方根记作na,a的负的n次方根,记作:na;(例如:8 的平方根8 2 216 的 4 次方根416 2)若n是偶数,且a 0则na没意义,即负数没有偶次方根;0 0 n 1,n Nnnn0 0;式子a叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。ann a4a的n次方根的性质一般地,若n是奇数,则nan a;若n是偶数,则nan a 5例题分析:例 1求下列各式的值:(1)38 aaa 0a 03(2)102(3)43(4)4例 2已知a b 0,n 1,n N,化简:na bna bnn(二)分数指数幂学习好帮手WORD 格式整理版1051231分数指数幂:5a a a102a 03a a
3、a124a 0即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;如果幂的运算性质(2)a3 kn akn对分数指数幂也适用,4422553422532例如:若a 0,则a3 a3 a,a4 a4 a,a a3a a545即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是a(2)正数的负分数指数幂的意义是amnmnnama 0,m,nN,n 1;1amn1nama 0,m,nN,n 12分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即1aras arsa 0,r,sQ3abr2ar arsa 0,r,s
4、Qs arbra 0,b 0,rQ说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;(2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。3例题分析:例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式a o:a a,a33a2,a a.例 2计算下列各式的值(式中字母都是正数)31151112(1)2a3b26a2b33a6b6;(2)m4n8;82例 3计算下列各式:(1)35 125 5(2)4a2a a32a 0(三)综合应用学习好帮手WORD 格式整理版例 1化简:5x15x5x1.例 2化简:(x y)(x y).例 3已知x x112121414 3,求下列各式的值:(1)x x
5、;(2)x x.12123232二、指数函数1指数函数定义:一般地,函数y a(a 0且a 1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是Rx2指数函数y a在底数a 1及0 a 1这两种情况下的图象和性质:xa 10 a 1图象性质(1)定义域:R(2)值域:(0,)(3)过点(0,1),即x 0时y 1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数例 1求下列函数的定义域、值域:(1)y 812x1(2)y 1()x(3)y 312 x学习好帮手WORD 格式整理版ax1例 2当a 1时,证明函数y x是奇函数。a 1例 3设a是实数,f(x)a2(xR),x2 1(1)试证明:对于任意a,f(
6、x)在R为增函数;(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数。三、对数的性质1对数定义:一般地,如果a(a 0且a 1)的b次幂等于 N,就是ab N,那么数 b叫做 a 为底 N 的对数,记作logaN b,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。b即a N,logaN b指数式ab N对数式logaN ba底数对数的底数N幂真数b指数对数说明:1在指数式中幂 N 0,在对数式中,真数N 0(负数与零没有对数)2对任意a 0且a 1,都有a 1loga1 0,同样:logaa 1b3如果把a N中的b写成logaN,则有a0logaN N(对数恒等式)3介绍两种特殊的对数:常用对数:以 10 作底lo
7、g10例 2(1)计算:N写成lgNlogeN写成lne自然对数:以e作底为无理数,e=2.71828,log927,学习好帮手WORD 格式整理版(2)求 x 的值:log3x (3)求底数:logx3 32;log23x 2x112x 1437,logx2584对数的运算性质:如果a 0,a 1,M 0,N 0,那么(1)loga(MN)logaM logaN;(2)logaM logaM-logaN;Nn(3)logaM nlogaM(nR)例 3计算:(1)lg1421g5换底公式:logaN lg2437;lg7 lg18;(2)lg93logmN(a 0,a 1;m 0,m 1)l
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