北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案.pdf
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1、北京邮电大学北京邮电大学 2012201220132013 学年第学年第 1 1 学期学期概率论与随机过程期末考试试题答案概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的题纸上写上你的班号班号和选课单上的和选课单上的学号学号,班内序号班内序号!一一.单项选择题和填空题:单项选择题和填空题:(每空(每空 3 3 分,共分,共 3030 分)分)1.设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是.A(A)若AA,BA,则A
2、BA;(B)若AA,BA,则BA;(C)若AnA,n1,2,则n1AnA;(D)若AnA,n1,2,且A1 A2 A3,则n1AnA.2.设,F为一可测空间,P为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是.c(A)若AF,BF,则P(A B)P(A)P(B);(B)若AnF,n1,2,且A1 A2 A3,则P(n1An)limP(An);n(C)若AF,BF,CF,,则P(ABC)P(A)P(AB)P(A BC);(D)若AnF,n1,2,且AiAj,i j,P(n1An)P(An).n13.设f为从概率空间,F,P到 Borel 可测空间R,B上的实可测函数,表达式为f()kIAk,其中AiA
3、j,i j,k0100100n0An,则fdP;1若已知P(Ak)100100!1,则f2dP.100k!(100k)!22kP(A),2550kk0 25254.设二维随机变量(X,Y)的概率密度2,0 x 1,0 y x,f(x,y)0,其他,则EEX|Y=.2/35.设随机过程X(t)X cost,t ,其中随机变量X服从参数为1的指数分布,(0,/2)为常数,则(1)X(1)的概率密度f(x;1);(2)E(2X(t)dt).0 x1cos1e,x 0,E(2X(t)dt)f(x;1)cos00,其他,16.设W(t),t 0是参数为2(0)的维纳过程,令X(t)W(),则相关t函数R
4、X(1,2)22.7.设齐次马氏链的状态空间为E 1,2,3,一步转移概率为0.50.50 P 0.50.500.20.30.5则(1)lim pn(n)11(n).1/2,2;(2)p33n0二二.概率题(共概率题(共 3030 分)分)1.(10 分)设(X,Y)的概率密度为2f(x,y)12e222x1x222,令U X2Y2,V Y,(1)求(U,V)的概率密度g(u,v);(2)求U的边缘概率密度gU(u).u x2 y2,x u2v2,解解.(1)解方程得|v|u,y v,v y,所以雅可比行列式 J u2 u2v20u,2 u2v2 222 u v1v故u1u22e,|v|u,2
5、22g(u,v)f(x,y)|J|2u v0,其他.5 分(2)对u 0,gU(u)g(u,v)dv uu121e2u22uu v22dvuu2e2u22uuu v22dv u2e222,uu22,u 0,2e故 gU(u)20,其他.10 分2.(10 分)设(U,V)的概率密度eu,uv 0,v 0,g(u,v)其他,0,1,V 1,(1)求E(IV 1|U 10),其中IV1()(2)D(V|U).其他,0,3解U的边缘概率密度为uuuu0e dv,u 0,ue,u 0,gU(u)g(u,v)dv 0其他,其他,0,0,所以条件概率密度1g(u,v),0 v u,gV|U(v|u)ugU
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