【广东省广州市】2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷-答案.pdf

-1-/6 广东省广东省广州市广州市 2017 届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷 答答 案案 一、选择题 15ABABA 610CDCBC 1112BD 二、填空题 1323 1423 152590 1627 三、解答题 17解：（）因为数列na是等比数列，所以2132a aa 因为1238a a a，所以328a，解得22a 因为2135213()nnSaaaa，所以213Sa，即1213aaa 因为22a，所以11a 因为等比数列na的公比为212aqa，所以数列na的通项公式为12nna（）因为等比数列na的首项为11a，公比2q，所以1(1)1nnaqSq122112nn 因为nnbnS，所以(21)nnbn2nnn 所以123nTbbb1nnbb 23(1 222322)(123)nnn 设231 22232nP 2nn 则2321 222nP 413 22nn 所以12342(22222)nnnPn1(1)22nn 因为1 2 3 (1)2n nn，所以1(1)2nnTn(1)22n n 所以数列b n的前n项和1(1)2nnTn(1)22n n 18解：（）证明：连接BD，-2-/6 因为ABCD是菱形，所以ACBD 因为FD平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ACFD 因为BDFDD，所以AC 平面BDF 因为EB平面ABCD，FD平面ABCD，所以EB FD 所以B，D，F，E四点共面 因为EF 平面BDFE，所以EFAC （）如图，以D为坐标原点，分别以DC，DF的方向为y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz 可以求得31(,0)22Aaa，31(,0)22Baa，3(0,0,)2Fa，(0,0)Ca，31(,3)22Eaaa 所以(0,0)ABa，313(,)222AFaaa 设平面ABF的法向量为,nx y z，则0,0,nABnAF即0,3130222ayaxayaz 不妨取1x，则平面ABF的一个法向量为(1,0,1)n 因为31(,3)22CEaaa，所以|cos,|n CEn CEn CE3 68 所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为3 68 -3-/6 19解：（）依题意，1的所有取值为 1.68，1.92，2.1，2.4，因为1(1.68)0.6 0.50.30P，1(1.92)0.6 0.50.30P，1(2.1)0.4 0.50.20P，1(2.4)0.4 0.50.20P 所以1的分布列为 1 1.68 1.92 2.1 2.4 1P 0.30 0.30 0.20 0.20 依题意，2的所有取值为 1.68，1.8，2.24，2.4，因为2(1.68)0.70.60.42P，2(1.8)0.3 0.60.18P，2(2.24)0.7 0.40.28P，2(2.4)0.3 0.40.12P 所以2的分布列为 2 1.68 1.8 2.24 2.4 1P 0.42 0.18 0.28 0.12（）令iQ表示方案i所带来的利润，则 1Q 15 20 25 P 0.30 0.50 0.20 2Q 15 20 25 P 0.42 0.46 0.12 所以115 0.30200.5025 0.2019.5EQ，215 0.4220 0.4625 0.1218.5EQ 因为12EQEQ，所以实施方案 1，第二个月的利润更大 20解：（）双曲线2215xy的焦点坐标为(6,0)，离心率为305 因为双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221(0)xyabab 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a，且22306aba，解得1b -4-/6 故椭圆C的方程为2216xy（）因为4 3|23MN，所以直线MN的斜率存在 因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为ykxm 代入椭圆方程2216xy得222(16)126(1)0kxkmxm 因为22(12)24(16)kmk 2(1)24m 22(16)0km，所以221+6mk 设11(,)M x y，22(,)N xy，根据根与系数的关系得1221216kmxxk，21226(1)16mx xk 则222222121212221224(1)|1|1()41()1 61 6kmmMNkxxkxxx xkkk 因为4 3|3MN，即222221224(1)4 31()1 61 63kmmkkk 整理得4222183979(1)kkmk 令211kt ，则21kt 所以22187550150752 30575(18)9993ttmttt 等号成立的条件是53t，此时223k，253m 满足2216mk，符合题意 故m的最大值为153 21解：（）函数()f x的定义域为(0,1)(1,)因为()lnxf xaxbx，所以2ln1()lnxfxax 所以函数()f x在点(e,(e)f处的切线方程为eeeyabax，即eyaxb 已知函数()f x在点(e,(e)f处的切线方程为2eyax，比较求得eb 所以实数b的值为e（）由1()e4f x，即1eeln4xaxx 所以问题转化为11ln4axx在2e,e 上有解 令11()ln4h xxx2e,e x，-5-/6 则222222211ln4(ln2)(ln2)()4ln4ln4lnxxxxxxh xxxxxxxx 令()ln2p xxx，所以当2e,e x时，有111()0 xp xxxx 所以函数()p x在区间2e,e 上单调递减 所以()(e)lne2 e 0p xp 所以()0h x，即()h x在区间2e,e 上单调递减 所以22221111()(e)=lne4e24eh xh 所以实数a的取值范围为211,)24e 22解：（）曲线C的普通方程为221124xy 将直线20 xy代入221124xy中消去y得，230 xx 解得0 x 或3x 所以点(0,2)A，(3,1)B，所以22|(30)(1 2)3 2AB （）在曲线C上求一点P，使PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大 设过点P且与直线l平行的直线方程yxb 将yxb代入221124xy整理得，22463(4)0 xbxb 令22(6)4 4 3(4)0bb ，解得4b 将4b代入方程22463(4)0 xbxb，解得3x 易知当点P的坐标为(3,1)时，PAB的面积最大 且点(3,1)P 到直线l的距离为22|312|11d 3 2 PAB的最大面积为1|92SABd 23解：（）证明：因为1abc ，所以222(1)(1)(1)abc222abc2()3abc2225abc -6-/6 所以要证明22216(1)(1)(1)3abc，即证明22213abc 因为222abc2()abc22222()()2()abbccaabcabc 所以22223()()abcabc 因为1abc ，所以22213abc 所以22216(1)(1)(1)3abc（）设()f x|21|xax，则“对任意实数x，不等式|21|2xax 恒成立”等价于“min()2f x”当12a时，()f x 31,11,2131,.2xaxaxa axxax 此时min1()()2f xf12a，要使|21|2xax恒成立，必须122a，解得32a 当12a 时，12|23x不可能恒成立 当12a时，()f x 131,211,231,.xaxxaxaxaxa 此时 min1()2f xf12a，要使|21|2xax 恒成立，必须122a，解得52a 综上可知，实数a的取范为35(,)22