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一轮复习知识点精编-集合知识要点试题 一轮复习知识点精编 集合知识要点试题 1、集合的基本概念集合某些指定的对象_就成为一个集合 。集合中的每个_叫做这个集合的元素。一些常见的数集 全体非负整数的集合非负整数集(或自然数集) 记作 非负整数集内排除0的集正整数集,表示成 或 全体整数的集合整数集 记作 全体有理数的集合有理数集 记作 全体实数的集合实数集 记作 全体复数的集合- 复数集 记作 注意：（1）自然数集含有0；（2）整数集、有理数、实数集内排除0的集合分别表示为： 或 、 或 、 或 。集合与元素的关系如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作a （ ）A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A ，记作a（ ） A。注意：“ ”、“ ”只能用在元素与集合之间。集合元素的特性集合的分类有限集含有有限个元素的集合。无限集含有无限个元素的集合。特别地，不含任何元素的集合叫做 ，记作 。集合的表示法 列举法把集合中的元素一一列举出来的方法。如x1，x2，xn或xi,i I。 描述法： 有时也可写成 x：p(x) x ；p(x) 文氏图（又叫韦恩图）：区间表示法注意：区分“a”与“a”。对于列举法中用“”表示的集合，应按次序排列。 代表元素不是一定要用x，还可用如：y、t、u、v、(x,y)、(x,y,z)等来表示。定义符号表示或数学表达式性质集合与集合的关系子集如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说集合A是集合B的子集。A B或(B A) A（特别地）A A若A B,B C,则AC。相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.A=B A B,B A如果A B,同时B A，那么A =B。真子集:如果A B，并且A B，我们就说集合A是集合B的真子集。记作 A B 若A,则有 A。如果A B,B C， 那么AC运算全集与补集设S是一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一。个全集。CA=x| x S,x ACU= C= C(CA)= (CA)A=(CA)A=) =(CA )(CB) =(CA )(CB)交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。AB=x| x A,且x BAA= A= AB= AB A ，AB BAB=A 则A B并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。AB=x| x A,或x BAA=A=AB=A AB ，B ABAB=B 则A B 2、集合与集合的关系说明：“,”只能用在 与集合之间。“”等只能用在 与集合之间。一般地，若一个集合有n个元素，则它有 个子集， 个真子集。 个非空子集 个非空真子集一般地，对任意两个有限集合A,B,有card(AB)= 对映射的概念了解吗？映射f：AB，（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 8. 函数的三要素 相同函数的判断方法： (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域常见类型？ 函数定义域求法：l分式中的 不为零；l偶次方根下的数（或式） 零；l指数式的底数 ；l对数式的底数 真数 零。l正切函数 l余切函数 实际问题有意义 l当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 复合函数的定义域复合函数定义域的求法：已知f(x) 的定义域为D，求f(h(x) 的定义域，可由h(x) D 解出x的范围，即为f(h(x) 的定义域。 已知f(h(x) 的定义域为D，求f(x)的定义域，求得(h(x)的值域，解即为f(x) 的定义域。 已知f(h(x) 的定义域为D，求f(g（x)）的定义域，先求h(x)值域E由g(x) E解出x的范围，即为f(g(x) 的定义域。（2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4）消元法函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=x 的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 9 、不等式法利用基本不等式a+b ， （a，b ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。10、分离常数法适用于 题型11导数法证明函数的单调性判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系步骤： 也可以变形为求 的正负号或者 与1的关系(2)参照图象：若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同增同减的当c0时函数f(x)与cf(x)(c是常数)，它们的单调性是 ；（相同，相反）当c0时，它们的单调性是 的。（相同，相反） 如果函数f1(x)，f2(x)单调性相同，则函数f1(x)f2(x)和的单调性 （ ）（函数相加） 如果正值函数f1(x)，f2(x)单调性相同，则函数f1(x)f2(x)和它们的单调性 ； 如果负值函数f1(2)与f2(x)单调性相同，则函数f1(x)f2(x)和它们的单调性 ；（函数相乘）函数f(x)与 在f(x)的同号区间里单调性相反。若函数u(x)，x，与函数yF(u)，u()，()或u(),()同向变化，则在，上复合函数yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数yF(u)，u()，()或u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。（同增异减）f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增 增 增 增 增增 减 减 - -减 增 减 - -减 减 增 减 减如何利用导数判断函数的单调性 ？ 奇偶性 注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 判断函数奇偶性的方法首先判断定义域是否关于远点对称一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.一.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性二 和差法.奇函数做和偶函数做差三做商法f(x)与f(-x)做商与 或 比较 三、复合函数奇偶性f(g )g(x)fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x)奇 奇 奇 奇 偶奇 偶偶 非奇非偶 奇偶 奇 偶 非奇非偶 奇偶 偶 偶 偶 偶周期函数 f(a+x)=f(a-x) 则f(x)关于直线 对称f(2a+x)=f(-x) 则f(x) 关于直线 对称f(a+x)=f(b-x) 则f(x) 关于直线 对称f(a+x)= -f(a-x) 则f(x)关于点 对称f(2a+x)= -f(-x) 则f(x)关于点 对称f(2a+x)= -f(-x)+2b则f(x)关于点 对称f(x)关于直线x=a和直线x=b对称则 是f(x)的一个周期f(x)关于点（a,0）和点（b,0）对称则 是f(x)的一个周期f(x)关于直线x=b和点(b,0)对称 则 是f(x)的一个周期4. 两个函数图象的对称性(1)函数 f(x)与函数f(-x) 的图象关于直线 (即 轴)对称.(2)函数 f(x)与函数-f(x)的图象关于直线 (即 轴)对称.(3) 函数 f(x)与函数-f(-x)的图象关于点 (即 )对称(4)函数y=ax 和y=logax 的图象关于直线 对称.6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .(2)指数函数 , .(3)对数函数 , .(4)幂函数 , .(5)余弦函数 ,正弦函数 ， .指数函数与对数函数知识点总结（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是 数时，当是 数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；（2） ；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a求导回代。法则：y|= y| u|或者.三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。三角函数公式总结一、诱导公式1.sin(180+)= ，cos(180+)= 2. sin (+k360)= ，cos (+k360)= ，tan (+k360)= 3.sin(-)= ， cos(-a)= 4*.tan(180+)= ，tan(-)=-tan5.sin(180-)=sin， cos(180-)= 6.sin(360-)=-sin cos(360-)= 7.sin(/2-)=cos cos(/2-)= 8*.Sin(3/2-)=-cos cos(3/2-)= 9*.Sin(/2+)=cos cos(/2+a)= 10*.sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)= 记忆口诀奇变偶不变，符号看象限二、两角和与差的三角函数1.两点距离公式2.S(+): sin(+)= C(+): cos(+)= 3.S(-): =sincos-cossinC(-): =coscos+sinsin4. T(+):T(-): 5*. 三、二倍角公式1. S2: sin2= 2. C2a: cos2=cos2-sin2a= = 3. T2: tan2= 四*、其它杂项（全部不可直接用）1辅助角公式asin+bcos= sin(a+)，其中tan=b/a，其终边过点（a, b）asin+bcos= cos(a-)，其中tan=a/b，其终边过点（b,a）2降次、配方公式降次：sin2= cos2=(1+cos2)/2配方1sin=sin(/2)cos(/2)2 1+cos=2cos2(/2) 1-cos=2sin2(/2)3. 三倍角公式sin3=3sin-4sin3 cos3=4cos3-3cos4. 万能公式5. 和差化积公式sin+sin= sin-sin=cos+cos=cos-cos=6. 积化和差公式sinsin=1/2sin(+)+sin(-) cossin=1/2sin(+)-sin(-)sinsin-1/2cos(+)-cos(-)coscos=1/2cos(+)+cos(-)7. 半角公式 信心 恒心 专心