全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析).doc
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1、全等三角形问题中常见得辅助线得作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,构造二个角之间得相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题2、倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3、角平分线在三种添辅助线4
2、、垂直平分线联结线段两端5、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,6、图形补全法:有一个角为60度或120度得把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30、60度得作垂线法:遇到三角形中得一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成30-60-90得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90得特殊直角三角形,或40-60-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数
3、值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造全等三角形.2) 遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转” 法构造全等三角形.3) 遇到角平分线在三种添辅助线得方法,(1)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(
4、2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等,再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.6) 已知某线段得垂直平分线,那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出
5、一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来,利用三角形面积得知识解答.一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_、例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:AD平分BAE、应用:1、(09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系.(1)如图 当为直
6、角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;(2)将图中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE、四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中,B=60,ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2、如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F、 (1)说明BE=CF得理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、应用:1、如图,OP就是MON得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB就是直角,B=60,AD、
7、CE分别就是BAC、BCA得平分线,AD、CE相交于点F。请您判断并写出FE与FD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图,在ABC中,如果ACB不就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在(1)中所得结论就是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。五、旋转例1 正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求EAF得度数、例2 D为等腰斜边AB得中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当绕点D转动时,求证DE=DF。(2) 若AB=2,求四边形DECF得面积。例3 如图,就是边长为3得等边三角
8、形,就是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;应用:1、已知四边形中,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于.当绕点旋转到时(如图1),易证.当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明.(图1)(图2)(图3)2、(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB得两侧、(1)如图,当APB=45时,求AB及PD得长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应APB
9、得大小、3、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC、 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长L得关系.图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ; 此时 ; (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问得两个结论还成立吗?写出您得猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA得延长线上时,若AN=,则Q= (用、L表示). 参考答案与提示一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,
10、如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_、解:延长AD至E使AE2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD得取值范围就是1AD4例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF,连BG,EG,显然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形得三线合一知EGEF在BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 故:EFBE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:AD平分BAE、 解:延长AE至G使AG2AE,
11、连BG,DG,显然DGAC, GDC=ACD由于DC=AC,故 ADC=DAC在ADB与ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE应用:1、(09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系.(1)如图 当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;(2)将图中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图所示,(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.解:(1)
12、,;证明:延长AM到G,使,连BG,则ABGC就是平行四边形GCHABDMNE,又再证:,延长MN交DE于H(2)结论仍然成立.证明:如图,延长CA至F,使,FA交DE于点P,并连接BF,FCPABDMNE在与中(SAS),又,且,二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CDAC解:(截长法)在AB上取中点F,连FDADB就是等腰三角形,F就是底AB中点,由三线合一知DFAB,故AFD90ADFADC(SAS)ACDAFD90即:CDAC2、如图,ADBC,EA,EB分别平分DAB,CBA,CD过点E,求证;ABAD+BC解:(截长法)在AB上取点F,使AFAD,
13、连FEADEAFE(SAS)ADEAFE,ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE(AAS)故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图,已知在ABC内,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别就是,得角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP解:(补短法, 计算数值法)延长AB至D,使BDBP,连DP在等腰BPD中,可得BDP40从而BDP40ACPADPACP(ASA)故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求证: 解:(补短法)延长BA至F,使BFBC,连FDBDFBDC
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