刚体的转动惯量专题.doc
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1、刚体得转动惯量专题1。刚体得转动惯量得三要素 刚体对某轴得转动惯量,就是描述刚体在绕该轴得转动过程中转动惯性得物理量、有转动惯量得定义式可瞧出,刚体得转动惯量就是与下列三个因素有关得、 (1)与刚体得质量有关. 例如半径相同得两个圆柱体,而它们得质量不同,显然,对于相应得转轴,质量大得转动惯量也较大. (2)在质量一定得情况下,与质量得分布有关、 例如,质量相同、半径也相同得圆盘与圆环,二者得质量分布不同,圆环得质量集中分布在边缘,而圆盘得质量分布在整个圆面上,所以,圆环得转动惯量较大.(3)还与给定转轴得位置有关,即同一刚体对于不同得转轴,其转动惯量得大小也就是不等得. 例如,同一细长杆,对
2、通过其质心且垂直于杆得转轴与通过其一端且垂直于杆得转轴,二者得转动惯量不相同,且后者较大、 这就是由于转轴得位置不同,从而也就影响了转动惯量得大小。 刚体得转动惯量得三要素:刚体得总质量、刚体得质量分布情况、转轴得位置。 2.转动惯量得普遍公式()转动惯量得定义式 可知,对于形状规则、质量均匀分布得连续刚体,其对特殊轴得转动惯量得计算可借助于定积分、这就是,可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元。于就是一般说来,这就是个三重得体积分,但对于有一定对称性得物体,积分得重数可以减少,甚至不需要积分。(2)刚体对某轴得转动惯量刚体对轴得转动惯量 刚体对轴得转动惯量 刚体对轴得转动惯量 仿照刚体对某轴
3、得转动惯量来定义刚体对于某点得转动惯量:刚体中各质点得质量各自与其至某(参考)点得距离得平方得乘积,所得总与称为刚体对该点得转动惯量。(3)刚体对某点得转动惯量刚体对坐标原点得转动惯量可表示为 由式、,得 即,质点系(刚体)对于坐标原点得转动惯量(或极转动惯量),等于它对于三个坐标轴得转动惯量之与得一半.3。刚体得平行轴定理(许泰乃尔定理) 即,刚体对于任何一轴得转动惯量,等于刚体对于通过它得质心并与该轴平行得转动惯量,加上刚体得质量与两轴间距离平方得乘积。注意:平行轴定理与刚体对质心轴得转动惯量紧密联系在一起,应用此定理得参考点就是刚体对质心轴得转动惯量. 根据平行轴定理,可得到如下关系:
4、(1)刚体绕通过质心得轴得转动惯量小于绕另一平行轴得转动惯量,二者之差为。 (2)设有两条平行轴与均不通过质心、 如果比靠近,则刚体绕轴得转动惯量小于绕轴得转动惯量(如图、52(a)所示)、图7。 平行轴定理得应用() 在不同圆上;()同一圆上 (3)如果有一簇与质心得距离相等得平行轴,那么,刚体绕这些轴得转动惯量均相等(如图7、52(b)所示)、.刚体得垂直轴定理(正交轴定理、薄片定理)设想刚体为平面薄片,即厚度可以略去不计,因而刚体为平面图形. 即,平面图形对于图形内得两条正交轴得转动惯量之与,等于这个图形对过二轴交点且垂直于图形平面得那条转轴得转动惯量.注意:正交轴定理对于有限厚度得板不
5、成立、5.转动惯量得叠加原理实际上,有些物体就是由几种形状不同得刚体得组合。 它对于某轴得转动惯量,可视为各部分对于同一转轴得转动惯量之与,因而, 即,由几个部分组成得刚体对某轴得转动惯量,等于各部分对同轴得转动惯量之与、 此即转动惯量得叠加原理。叠加原理就是根据加法得组合定则,把属于各部分得项分别相加,然后求与而得。 同理,设有一物体挖去若干部分,则剩余部分得转动惯量,等于原物体得转动惯量,减去挖去部分得转动惯量。例题 在质量为,半径为得匀质圆盘上挖出半径为得两个圆孔,圆孔中心在半径得中点,求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直得轴线得转动惯量。图7。5转动惯量得叠加原理得应用解大圆盘对过圆盘
6、中心且与盘面垂直得轴线(以下简称轴)得转动惯量 为 。 由于对称放置,两个小圆盘对轴得转动惯量相等,设为,圆盘质量得面密度,根据平行轴定理,有设挖去两个小圆盘后,剩余部分对轴得转动惯量为6.转动惯量得标度变换法 转动惯量得标度变换法就是计算转动惯量得一种简便得方法。 由于在几何上具有相似性得均匀物体,它们对相应转轴得转动惯量得表达式也具有相似性,在根据转动惯量得平行轴定理、叠加原理等,确定彼此关系,比较系数,从而获得物体对该轴得转动惯量、 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状得物体得转动惯量。 例题2 求均匀立方体绕通过面心得中心轴得转动惯量、图7。54 标度变换法用于计算立方体对通过面
7、心得中心轴得转动惯量 解 令立方体得总质量为,边长为,设均匀立方体绕通过面心得中心轴得转动惯量为其中,系数就是无量纲得量。因为一切立方体在几何上都就是相似得,它们应该具有同样得、中心轴到棱边得距离为根据平行轴定理,立方体绕棱边得转动惯量为现将立方体等分为8个小立方体,每个小立方体得质量为,边长为,绕棱边得转动惯量为8个立方体绕棱边得转动惯量之与应等于大立方体绕中心轴得转动惯量,即比较系数,得于就是,求得所以,下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性得刚体对于一些特殊得转轴得转动惯量。 匀质细杆 例题3 质量为、长为得匀质细杆,绕其质心且垂直于杆得轴旋转,杆得转动惯量就是多少? 解
8、设杆得线密度为,则、 选择如图所示得坐标轴,杆得质心位于原点,取一个长度为、与质心得距离为得微元,则图。5 匀质细杆对质心轴得转动惯量根据平行轴定理,杆对通过其一端且垂直于杆得轴得转动惯量为当然用定积分也可得相同得结果。 匀质正方形薄板例题 求质量为、边长为得匀质正方形薄板对其边为轴得转动惯量. 解 匀质薄板可视为细长条得组合。 根据叠加原理可得对一边得转动惯量.图、56 匀质正方形薄板对一边为轴得转动惯量同理,可得或利用定积分,其中,为面密度。对轴得转动惯量对质心轴得转动惯量对以对角线为轴得转动惯量当然,对轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、 匀质矩形薄板例题5求质量为、长与宽分别为与得匀质
9、矩形薄板对其边为轴得转动惯量。 解 方法同上,不难得到图7、57匀质矩形薄板对一边为轴得转动惯量由垂直轴定理,可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板平面得轴得转动惯量(如图.7)为当然,对轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、矩形薄板对通过质心且垂直于板平面得轴得转动惯量为图、8 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面得轴得转动惯量另解:从量纲上考虑,所求得转动惯量可表示为其中,为待定系数、将与转置后,但不会因为与转置而发生变化,比较系数,有则利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板得特点,如图、54所示,有比较系数,有得,因而,匀质长方体例题6 求质量为、长、宽与高分别为、与得匀质长方体对其棱边为
10、轴得转动惯量、图7。5 匀质长方体对其棱边为轴得转动惯量解 由叠加原理,不难得到以棱边为轴得转动惯量同理可得,以棱边为轴得转动惯量以棱边为轴得转动惯量当然,对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到。对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到、对轴得转动惯量也可用三重积分计算得到.根据平行轴定理,对通过长方体面心为轴得转动惯量如果将上述长方体换成边长为得立方体,则绕其棱边得转动惯量均相等,且对通过正方体面心为轴得转动惯量余此类推、对于特殊刚体,线(线段)面(矩形) 体(长方体)匀质细圆环例题7 求质量为、半径为得匀质细圆环对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量.图7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直得
11、轴得转动惯量解 细圆环得质量可以认为全部分布在半径为得圆周上,即在距离中心小于或大于得各处,质量均为零,所以转动惯量为或又由垂直轴定理,可以得到其对直径为转轴得转动惯量为再利用平行轴定理,可得细圆环对其任意切线为转轴得转动惯量为。图、61 匀质细圆环对任意切线为轴得转动惯量其中,为细圆环得线密度,则细圆环对切线得转动惯量 匀质中空薄圆盘例题 求质量为、内半径为、外半径为得匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直得轴得转动惯量、图7。62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直得轴得转动惯量解 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心得细圆环得组合,所以,根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面
12、得转轴得转动惯量. 中空薄圆盘得质量为其中,为中空薄圆盘得面密度,则中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量当然,中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量也可用二重积分计算得到、匀质薄圆盘例题9 求质量为、半径为得匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量.图7、3匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直得轴得转动惯量解匀质薄圆盘可视为无限多个同心得细圆环得组合,所以,根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面得转轴得转动惯量. 薄圆盘得质量为其中,为薄圆盘得面密度,则薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量当然,薄圆盘对通过中心且垂直于盘面得转轴得转动惯量也可用二重积
13、分计算得到、可见,薄圆盘就是中空圆盘得特例、 同样,根据垂直轴定理,得其对直径为转轴得转动惯量为再利用平行轴定理,可得其对切线为转轴得转动惯量为匀质薄壁圆筒例题1求质量为、半径为得匀质薄壁圆筒对中心轴线得转动惯量。解 匀质薄壁圆筒可视为半径相同,圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线得一系列细圆环得组合.根据叠加原理,由圆环对该直线得转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴得转动惯量图7。6 匀质薄壁圆筒对中心轴线得转动惯量当然,也可定积分法求解。匀质中空圆柱体例题11 求质量为、内半径为、外半径为得匀质中空圆柱体对中心轴线得转动惯量、图7。65 匀质中空圆柱体对中心轴线得转动惯量解匀质中空圆
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