勾股定理培优题.doc
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勾股定理培优题 勾股定理 一、知识要点 1、勾股定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理,它有着悠久的历史,蕴含着丰富的文化价值,勾股定理是数学史上的一个伟大的定理,在现实生活中有着广泛的应用,被人誉为“千古第一定理” .b1ZXExQ。wvT5AuR。 勾股定理反映了直角三角形(三边分别为a、b、c,其中c为斜边)的三边关系,即a2+b2=c2,它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.lWg8IbB。mglnQ1W。 勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一,在几何图形的计算和论证方面,有着重要的应用,它沟通了形与数,将几何论证转化为代数计算,是一种重要的数学方法.YxxQtZp。dccgL4M。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形是以c为斜边的直角三角形. 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它是通过代数运算“算”出来的,实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的,这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想,突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法,建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法,它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.Tgnx252。aVy8qbd。 二、基本知识过关测试 1.如果直角三角形的两边为3,4,则第三边a的值是 . 2.如图,图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆,阴影SA= . 3.如图,有一个圆柱的高等于12cm,底面半径3cm,一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处,所需爬行的最短路程是 .m7Lk3z2。C0jewRr。 4.如图.在 △ABC中,CD⊥AB于D,AB=5,CD=,∠BCD=30° ,则AC= .gnk753m。vRHL8cs。 5.作长为 , , 的线段. 6.在下列各组数中 ①5,12,13 ;②7,24,25;③32,42,52;④3a,4a,5a;⑤a2+1,a2-1,2a(a>1);⑥m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0)可作直角三角形三边长的有 组.YHg1k9L。vzvCVax。 7.如图,四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,AB⊥BC,则四边形ABCD的面积是 . g6TP8o5。BIe1qF3。 第2题图 第3题图 第4题图 第7题图l1eCOTw。CFv82Bu。 8.如图,在正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=BC,试判断△ AEF的形状. 三、综合.提高.创新 【例1】(1)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3,折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E(如图),折痕DE的长是多少?maj6MHN。hC2hW7q。 (2)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,按如图所示折叠,使点D落在BC上的点E处,求折痕AF的长.u5Z7uEN。Ln774BR。 (3)如图,正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T,求S2-T2的值.s0chM30。6GvOrjx。 【练】如图,四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠到△ACD′,AD′与BC交于E,若AD=4,DC=3,求BE.v7ArnO2。kNwZg3a。 【例2】(1)如图,△ABC中,∠C=60°,AB=70,AC=30,求BC的长. (2)如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°, ∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.PqskjO8。rUICTx4。 【练】如图,△ABC中,A=150°,AB=2,BC=,求AC的长. 【例3】(1)如图,△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D为BC上一点,AD⊥AB,求CD. (2)如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、AC中点,AD=5,BE=,求AB. 【例4】如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,求证:MU7tJY6。KU2ZyII。 (1); (2)a+b<c+h; (3)以a+b,h和c+h为边的三角形是直角三角形. 【例5】(1)如图,ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面上一点,求证:PA2-PB2=PD2 -PC2.Ll0S8bX。intEUfN。 (2)锐角△ABC中,AD⊥BC于D,若∠B=2∠C,求证:AC 2=AB 2+AB·BC. 变式:如图,AM是△ABC的BC边上的中线,求证:AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2). (3)如图,△ABC中,AB=AC,P为线段BC上一动点,试猜想AB 2,AP2, PB,PC 有何关系,并加以证明.CkmZVtT。LnqQC1u。 变式:若点P在BC的延长线上,如图,(3)中结论是否仍然成立?并证明. (4)在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上取点P并设s =AP2+BP2,试探求P点位置变化时,s与2CP2的大小关系,并证明.1DOk9Jc。LSrnMwg。 变式:若点P在BA的延长线上,如图中,(4)中结论是否仍然成立?并证明. 【例6】(1)如图,△ABC中,D为BC边上的中点,以D为顶点作∠EDF=90°,DE、DF分别交AB、AC于E、F,且BE2+FC2=EF2,求证:∠BAC=90°.Ua0dYv4。a4fHCEh。 (2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F分别是BC上两点,若∠EAF=45°,试推断BE,CF,EF之间的关系,并证明.66akFTm。JGUslq9。 变式一:将(2)中△AEF旋转至如图所示,上述结论是否仍然成立?试证明. 变式二:如图,△AEF中∠EAF=45°,AG⊥EF于G,且GF=2,GE=3,求S△AEF. 【例7】(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数. 0PE1QyZ。iUzahgH。 (2)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,求证BD2=AB2+BC2.LGeBDOP。HpwxOR6。 【例8】在等腰△ABC中,AB=AC,边AB绕点A逆时针旋转角度m,得到线段AD. (1)如图1,若∠BAC=30°,30°<m<80°,连接BD,请用含m的式子表示∠DBC; (2)如图2,若∠BAC=90°,0°<m<360°,射线AD与直线BC相交于点E,是否存在旋转角度m,使,若存在,求出所有符合条件的m的值;若不存在,请说明理由.hLWf4x1。MwmcqwP。 【例9】(1)已知点P在一、三象限的角平分线上,且点P到点A(3,6)的距离为PA=15,求点P的坐标;L6t9WLP。kLyNzhu。 (2)已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,4),B(-4,-2),C(2,-2),试判断△ABC的形状;dFyJbfD。nK24St9。 (3)求代数式的最小值; (4)已知a>0,b>0,求以,,为三边长的三角形的面积. 自我归纳: 四、课后练习 1.如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮到达灯塔正东方向D处时,货轮与灯塔M的距离是多少?umNuozA。ruNnzUh。 2.在△ABC中,A=30°,B=45°,BC=10cm,求AB,AC及△ABC的面积. 3.(1)如图,把长方形沿ABCD对角线折叠,重合部分为△EBD. 1)求证和:△EBD为等腰三角形; 2)若AB=2,BC=8,求AE. (2)如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上,已知AB=8cm,CE=4cm,求AD.vaFiY2F。Leu7CIw。 4.如图,△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,AB=AC,D.E.是BC上的两点,且∠DAE=45°,若BD=6,EC=8,求DE的长.oZADe1s。uT7lckw。 5.如图,在等腰三角形中,AB=AC,D是斜边BC的中点,E 、F分别为AB,AC边上的点,且DE⊥DF.Pwwpf44。M4yQGD7。 (1)求证:BE2+CF2=EF2; (2)若BE=12,CF=5,试求△DEF的面积. 6.如图,等腰Rt△ABC中,∠A=90°,P为△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC= ,求∠CPA.9W5W1y9。HxfOQYy。 7.(1)如图1,已知点P是矩形ABCD内一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2. (2)①如果点P移动到矩形的一边或顶点时,如图2,(1)中结论仍成立; ②如果点P移动到矩形ABCD的外部时,如图3,(1)中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明. 79fFYRT。TD8qpTA。 归纳结论: 8.如图,△ABC中,AD是BC边的中点,AE是BC边上的高,求证:AB2-AC2=2BC·DE. 9.求代数式的最小值. 10.试判断,三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否为直角三角形?l7FFydk。SaOlnXy。 11.已知a,b,x,y都为正数,求证: ≥. 12.如图,Rt△ABC的两直角边AB=4,AC=3,△ABC内有一点P,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,且++=12,求PD、PE、PF的长.Evgiazv。D1dgzu4。- 配套讲稿:
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