圆幂定理讲义(带答案解析).doc

圆幂定理STEP 1:进门考理念:1、 检测垂径定理得基本知识点与题型。 2、 垂径定理典型例题得回顾检测。 3、 分析学生圆部分得薄弱环节。(1)例题复习。1. (2015夏津县一模)一副量角器与一块含30锐角得三角板如图所示放置,三角板得直角顶点C落在量角器得直径MN上,顶点A,B恰好都落在量角器得圆弧上,且ABMN.若AB=8cm,则量角器得直径MN= cm.【考点】M3:垂径定理得应用;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.【分析】作CDAB于点D,取圆心O,连接OA,作OEAB于点E,首先求得CD得长,即OE得长,在直角AOE中,利用勾股定理求得半径OA得长,则MN即可求解.【解答】解:作CDAB于点D,取圆心O,连接OA,作OEAB于点E.在直角ABC中,A=30,则BC=AB=4cm, 在直角BCD中,B=90A=60,CD=BCsinB=4=2(cm), OE=CD=2,在AOE中,AE=AB=4cm,则OA=2(cm), 则MN=2OA=4(cm). 故答案就是:4.【点评】本题考查了垂径定理得应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间得计算中,常用得方法就是转化为解直角三角形.2. (2017阿坝州)如图将半径为2cm得圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB得长为()A.2cm B.cmC.2cm D.2cm【考点】M2:垂径定理;PB:翻折变换(折叠问题).【分析】通过作辅助线,过点O作ODAB交AB于点D,根据折叠得性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD得长求出,通过垂径定理可求出AB得长.【解答】解:过点O作ODAB交AB于点D,连接OA,OA=2OD=2cm, AD=(cm),ODAB, AB=2AD=2cm. 故选:D.【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理得运用,正确应用勾股定理就是解题关键.3. (2014泸州)如图,在平面直角坐标系中,P得圆心坐标就是(3,a)(a3),半径为3,函数y=x得图象被P截得得弦AB得长为,则a得值就是()A.4 B. C. D.【考点】M2:垂径定理;F8:一次函数图象上点得坐标特征;KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题;16 :压轴题.【分析】PCx轴于C,交AB于D,作PEAB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则OCD为等腰直角三角形,PED也为等腰直角三角形.由PEAB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2,在RtPBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.【解答】解:作PCx轴于C,交AB于D,作PEAB于E,连结PB,如图,P得圆心坐标就是(3,a), OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3, D点坐标为(3,3), CD=3,OCD为等腰直角三角形, PED也为等腰直角三角形,PEAB, AE=BE=AB=4=2, 在RtPBE中,PB=3,PE=, PD=PE=, a=3+. 故选:B.【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了勾股定理与等腰直角三角形得性质.4. (2013内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心得圆过点A(13,0),直线y=kx3k+4与O交于B、C两点,则弦BC得长得最小值为 .【考点】FI:一次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】根据直线y=kx3k+4必过点D(3,4),求出最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,再求出OD得长,再根据以原点O为圆心得圆过点A(13,0),求出OB得长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解:直线y=kx3k+4=k(x3)+4, k(x3)=y4,k有无数个值, x3=0,y4=0,解得x=3,y=4,直线必过点D(3,4), 最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,点D得坐标就是(3,4), OD=5,以原点O为圆心得圆过点A(13,0), 圆得半径为13,OB=13, BD=12, BC得长得最小值为24; 故答案为:24.【点评】此题考查了一次函数得综合,用到得知识点就是垂径定理、勾股定理、圆得有关性质,关键就是求出BC最短时得位置.STEP 2:新课讲解教学目标1、 熟练掌握圆幂定理得基本概念。2、 熟悉有关圆幂定理得相关题型,出题形式与解题思路。3、 能够用自己得话叙述圆幂定理得概念。4、 通过课上例题,结合课下练习。掌握此部分得知识。学习内容一、 相交弦定理相交弦定理(1)相交弦定理:圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积相等.(经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成得两段得积相等). 几何语言:若弦AB、CD交于点P,则PAPB=PCPD(相交弦定理)(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成得两条线段得比例中项. 几何语言:若AB就是直径,CD垂直AB于点P,则PC2=PAPB(相交弦定理推论). 基本题型:【例1】 (2014秋江阴市期中)如图,O得弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为()A.6B.12C.8D.不能确定【考点】M7:相交弦定理.【专题】11 :计算题.【分析】由相交线定理可得出APBP=CPDP,再根据AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD得长,从而得出CD即可.【解答】解:APBP=CPDP,PD=,AP=3,BP=4,CP=2,PD=6,CD=PC+PD=2+6=8.故选C.【点评】本题考查了相交线定理,圆内两条弦相交,被交点分成得两条线段得积相等.【练习1】 (2015南长区一模)如图,矩形ABCD为O得内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交O于点F,则线段AF得长为()A.B.5C.+1D.【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形得性质与勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF得长.【解答】解:四边形ABCD就是矩形,B=90,AE=,BC=3,BE=1,CE=2,由相交弦定理得:AEEF=BECE,EF=,AF=AE+EF=;故选:A.【点评】本题考查了矩形得性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形得性质与相交弦定理,并能进行推理计算就是解决问题得关键. 综合题型【例2】 (2004福州)如图,AB就是O得直径,M就是O上一点,MNAB,垂足为N.P、Q分别就是、上一点(不与端点重合),如果MNP=MNQ,下面结论:1=2;P+Q=180;Q=PMN;PM=QM;MN2=PNQN.其中正确得就是()A.B.C.D.【考点】M7:相交弦定理;M2:垂径定理;M4:圆心角、弧、弦得关系;M5:圆周角定理;S9:相似三角形得判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析,从而得到答案.【解答】解:延长MN交圆于点W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,QFPNM=QNM,MNAB,1=2(故正确),2与ANE就是对顶角,1=ANE,AB就是直径,可得PN=EN,同理NQ=NF,点N就是MW得中点,MNNW=MN2=PNNF=ENNQ=PNQN(故正确),MN:NQ=PN:MN,PNM=QNM,NPMNMQ,Q=PMN(故正确).故选B.【点评】本题利用了相交弦定理,相似三角形得判定与性质,垂径定理求解. 与代数结合得综合题【例3】 (2016中山市模拟)如图,正方形ABCD内接于O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则得值为()A.B.C.D.【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】设O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=rm.利用相交弦定理,求出m与r得关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】解:如图,设O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=rm.在O中,根据相交弦定理,得QAQC=QPQD.即(rm)(r+m)=mQD,所以QD=.连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,即,解得所以,故选D.【点评】本题考查了相交弦定理,即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”.熟记并灵活应用定理就是解题得关键. 需要做辅助线得综合题【例4】 (2008秋苏州期末)如图,O过M点,M交O于A,延长O得直径AB交M于C,若AB=8,BC=1,则AM= .【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.【分析】根据相交弦定理可证ABBC=EBBF=(EM+MB)(MFMB)=AM2MB2=8,又由直径对得圆周角就是直角,用勾股定理即可求解AM=6.【解答】解:作过点M、B得直径EF,交圆于点E、F,则EM=MA=MF,由相交弦定理知,ABBC=EBBF=(EM+MB)(MFMB)=AM2MB2=8,AB就是圆O得直径,AMB=90,由勾股定理得,AM2+MB2=AB2=64,AM=6.【点评】本题利用了相交弦定理,直径对得圆周角就是直角,勾股定理求解.二、 割线定理割线定理割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等. 几何语言:PBA,PDC就是O得割线 PDPC=PAPB(割线定理) 由上可知:PT2=PAPB=PCPD. 基本题型【例5】 (1998绍兴)如图,过点P作O得两条割线分别交O于点A、B与点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD得长就是()A.3B.7、5C.5D.5、5【考点】MH:切割线定理.【分析】由已知可得PB得长,再根据割线定理得PAPB=PCPD即可求得PD得长.【解答】解:PA=3,AB=PC=2,PB=5,PAPB=PCPD,PD=7、5,故选B.【点评】主要就是考查了割线定理得运用.【练习2】 (2003天津)如图,RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,以点C为圆心、CA为半径得圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD得长.【考点】MH:切割线定理;KQ:勾股定理.【分析】RtABC中,由勾股定理可直接求得AB得长;延长BC交C于点F,根据割线定理,得BEBF=BDBA,由此可求出BD得长,进而可求得AD得长.【解答】解:法1:在RtABC中,AC=3,BC=4;根据勾股定理,得AB=5.延长BC交C于点F,则有:EC=CF=AC=3(C得半径),BE=BCEC=1,BF=BC+CF=7;由割线定理得,BEBF=BDBA,于就是BD=;所以AD=ABBD=;法2:过C作CMAB,交AB于点M,如图所示,由垂径定理可得M为AD得中点,SABC=ACBC=ABCM,且AC=3,BC=4,AB=5,CM=,在RtACM中,根据勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,解得:AM=,AD=2AM=.【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理得理解及运用. 综合题型【例6】 (2015武汉校级模拟)如图,两同心圆间得圆环得面积为16,过小圆上任意一点P作大圆得弦AB,则PAPB得值就是()A.16B.16C.4D.4【考点】MH:切割线定理.【分析】过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PAPB=(OCOP)(OP+OD)=R2r2,再利用R2r2=16得到R2r2=16,所以PAPB=16.【解答】解:过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,PAPB=PCPD,PAPB=(OCOP)(OP+OD)=(Rr)(R+r)=R2r2,两同心圆间得圆环(即图中阴影部分)得面积为16,R2r2=16,R2r2=16,PAPB=16.故选A.【点评】本题考查了垂径定理:平分弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题,就是否有思路？三、 切割线定理切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等. 几何语言:PBA,PDC就是O得割线 PDPC=PAPB(割线定理) 由上可知:PT2=PAPB=PCPD.【例7】 (2013长清区二模)如图,PA为O得切线,A为切点,O得割线PBC过点O与O分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求O得半径.【考点】MH:切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】连接OA,设O得半径为rcm,由勾股定理,列式计算即可.【解答】解:连接OA,设O得半径为rcm,(2分)则r2+82=(r+4)2,(4分)解得r=6,O得半径为6cm.(2分)【点评】本题考查得就是切割线定理,勾股定理,就是基础知识要熟练掌握.【练习3】 (2013秋东台市期中)如图,点P就是O直径AB得延长线上一点,PC切O于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于()A.2B.3C.4D.5【考点】MH:切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PBPA,再由OB=3,PB=2,则PA=8,代入可求出PC.【解答】解:PC、PB分别为O得切线与割线,PC2=PBPA,OB=3,PB=2,PA=8,PC2=PBPA=28=16,PC=4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理,熟记切割线定理得公式PC2=PBPA.四、 切线长定理切割线定理(1)圆得切线长定义:经过圆外一点作圆得切线,这点与切点之间得线段得长,叫做这点到圆得切线长.(2)切线长定理:从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等,圆心与这一点得连线,平分两条切线得夹角.(3)注意:切线与切线长就是两个不同得概念,切线就是直线,不能度量;切线长就是线段得长,这条线段得两个端点分别就是圆外一点与切点,可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:垂直关系三处;全等关系三对;弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.【例8】 (2015秦皇岛校级模拟)如图,一圆内切四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形得周长为()A.32B.34C.36D.38【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理,可以证明圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等,从而可求得四边形得周长.【解答】解:由题意可得圆外切四边形得两组对边与相等,所以四边形得周长=2(7+10)=34.故选:B.【点评】此题主要考查了切线长定理,熟悉圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等就是解题关键.【练习4】 (2015岳池县模拟)如图,PA,PB切O于A,B两点,CD切O于点E交PA,PB于C,D,若O得半径为r,PCD得周长为3r,连接OA,OP,则得值就是()A.B.C.D.【考点】MG:切线长定理;MC:切线得性质.【分析】利用切线长定理得出CA=CF,DF=DB,PA=PB,进而得出PA=r,求出即可.【解答】解:PA,PB切O于A,B两点,CD切O于点E交PA,PB于C,D,CA=CF,DF=DB,PA=PB,PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,PA=r,则得值就是:=.故选:D.【点评】此题主要考查了切线长定理,得出PA得长就是解题关键.【例9】 (2014秋夏津县校级期末)如图,P为O外一点,PA,PB分别切O于A,B,CD切O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则PCD得周长与COD分别为()A.5,(90+P)B.7,90+C.10,90PD.10,90+P【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB,ED=AD,CE=BC,从而求得三角形得周长=2PA;连接OA、OE、OB根据切线性质,P+AOB=180,再根据CD为切线可知COD=AOB.【解答】解:PA、PB切O于A、B,CD切O于E,PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;PCD得周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即PCD得周长=2PA=10,;如图,连接OA、OE、OB.由切线性质得,OAPA,OBPB,OECD,DB=DE,AC=CE,AO=OE=OB,易证AOCEOC(SAS),EODBOD(SAS),AOC=EOC,EOD=BOD,COD=AOB,AOB=180P,COD=90P.故选:C.【点评】本题考查了切线得性质,运用切线得性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心与切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题,就是基础题型.五、 圆幂定理请尝试解出下列例题:【例10】 (2005广州)如图,在直径为6得半圆上有两动点M、N,弦AM、BN相交于点P,则APAM+BPBN得值为 .【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.【专题】16 :压轴题;25 :动点型.【分析】连接AN、BM,根据圆周角定理,由AB就是直径,可证AMB=90,由勾股定理知,BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知,APPM=BPPN,原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+APPM+BP2+BPPN=AP2+BP2+2APPM=AP2+MP2+BM2+2APPM=AP2+(AP+PM)2=AP2+AM2=AB2=36.【解答】解:连接AN、BM,AB就是直径,AMB=90.BP2=MP2+BM2APPM=BPPN原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+APPM+BP2+BPPN=AP2+BP2+2APPM=AP2+MP2+BM2+2APPM=BM2+(AP+PM)2=BM2+AM2=AB2=36.【点评】本题利用了圆周角定理与相交弦定理,勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幂定理。(部分参考书以前三条为圆幂定理)圆幂定理:过平面内任一点P(P与圆心O不重合)做O得(切)割线,交O与点A、B,则恒有。(“”被称为点P到O得幂。)Practice maSTEP 3:落实巩固查漏补缺 理念:找到自己本节课得薄弱环节。STEP 4:总结理念:本结课复习了什么？学到了什么？方法:学生口述+笔记记录。STEP 5:课后练习一.选择题(共5小题)1.如图所示,已知O中,弦AB,CD相交于点P,AP=6,BP=2,CP=4,则PD得长就是()A.6B.5C.4D.3【分析】可运用相交弦定理求解,圆内得弦AB,CD相交于P,因此APPB=CPPD,代入已知数值计算即可.【解答】解:由相交弦定理得APPB=CPPD,AP=6,BP=2,CP=4,PD=APPBCP=624=3.故选D.【点评】本题主要考查得就是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”.2.O得两条弦AB与CD相交于点P,PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,则CD=()A.12cmB.6cmC.8cmD.7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】解:由相交弦定理得:PAPB=PCPD,DP=6cm,CD=PC+PD=2+6=8cm.故选C.【点评】本题主要就是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”进行计算.3.如图,O中,弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4,PB=6,PD=2,则O得半径为()A.9B.8C.7D.6【分析】根据相交弦定理得出APBP=CPDP,求出CP,求出CD即可.【解答】解:由相交弦定理得:APBP=CPDP,PA=4,PB=6,PD=2,CP=12,DC=12+2=14,CD就是O直径,O半径就是7.故选C.【点评】本题考查了相交弦定理得应用,关键就是能根据定理得出APBP=CPDP.4.如图,A就是半径为1得圆O外得一点,OA=2,AB就是O得切线,B就是切点,弦BCOA,连接AC,则阴影部分得面积等于()A.B.C.D.【分析】连接OB,OC,易证:BOC就是等边三角形,且阴影部分得面积=BOC得面积,据此即可求解.【解答】解:连接OB,OC,AB就是圆得切线,ABO=90,在直角ABO中,OB=1,OA=2,OAB=30,AOB=60,OABC,COB=AOB=60,且S阴影部分=SBOC,BOC就是等边三角形,边长就是1,S阴影部分=SBOC=1=.故选A.【点评】本题主要考查了三角形面积得计算,以及切割线定理,正确证明BOC就是等边三角形就是解题得关键.5.如图,PA,PB分别就是O得切线,A,B分别为切点,点E就是O上一点,且AEB=60,则P为()A.120B.60C.30D.45【分析】连接OA,BO,由圆周角定理知可知AOB=2E=120,PA、PB分别切O于点A、B,利用切线得性质可知OAP=OBP=90,根据四边形内角与可求得P=180AOB=60.【解答】解:连接OA,BO;AOB=2E=120,OAP=OBP=90,P=180AOB=60.故选B.【点评】本题考查了切线得性质,切线长定理以及圆周角定理,利用了四边形得内角与为360度求解.二.解答题(共3小题)6.如图,P为弦AB上一点,CPOP交O于点C,AB=8,=,求PC得长.【分析】延长CP交O于D.由垂径定理可知CP=DP,由AB=8,=,得到AP=AB=2,PB=AB=6.再根据相交弦定理得出PCPD=APPB,代入数值计算即可求解.【解答】解:如图,延长CP交O于D.CPOP,CP=DP.AB=8,=,AP=AB=2,PB=AB=6.AB、CD就是O得两条相交弦,交点为P,PCPD=APPB,PC2=26,PC=2.【点评】本题考查了相交弦定理:圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积相等.同时考查了垂径定理,准确作出辅助线就是解题得关键.7.如图,AB,BC,CD分别与O相切于E,F,G,且ABCD,BO=6cm,CO=8cm.求BC得长.【分析】根据切线长定理与平行线得性质定理得到BOC就是直角三角形.再根据勾股定理求出BC得长.【解答】解:AB,BC,CD分别与O相切于E,F,G;CBO=ABC,BCO=DCB,ABCD,ABC+DCB=180,CBO+BCO=ABC+DCB=(ABC+DCB)=90.cm.【点评】解答此题得关键就是综合运用切线长定理与平行线得性质发现RtBOC,再根据勾股定理进行计算.8.如图,PA切O于点A,割线PBC交O于点B、C.(1)求证:PA2=PBPC;(2)割线PDE交O于点D、E,且PB=BC=4,PE=6,求DE得长.【分析】(1)连接AB、AC、BO、AO,可证得PABPCA,则,即PA2=PBPC(2)由PA2=PBPC,同理得,PA2=PDPE,可证得PDPE=PBPC,根据题意可求得PD,即得出DE得长.【解答】解:(1)连接AB、AC、BO、AO,PA切O于点A,PAAO,即PAB+BAO=90,(1分)又2BAO+O=180,PAB=O,C=O,PAB=C,PABPCA,(4分),即PA2=PBPC.(5分)(2)PA2=PBPC,同理,PA2=PDPE,PDPE=PBPC,(7分)且PB=BC=4,PE=6,(9分)即DE=PEPD=6=.(10分)【点评】本题考查得就是切割线定理,相似三角形得判定与性质,就是基础知识要熟练掌握.9、(2014长沙校级自主招生)以半圆中得一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若,且AB=10,则CB得长为()A.B.C.D.4【考点】MH:切割线定理;KQ:勾股定理;PB:翻折变换(折叠问题).【专题】31 :数形结合.【分析】作AB关于直线CB得对称线段AB,交半圆于D,连接AC、CA,构造全等三角形,然后利用勾股定理、割线定理解答.【解答】解:如图,若,且AB=10,AD=4,BD=6,作AB关于直线BC得对称线段AB,交半圆于D,连接AC、CA,可得A、C、A三点共线,线段AB与线段AB关于直线BC对称,AB=AB,AC=AC,AD=AD=4,AB=AB=10.而ACAA=ADAB,即AC2AC=410=40.则AC2=20,又AC2=AB2CB2,20=100CB2,CB=4.故选A.【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合,考查了同学们得综合应用能力,要善于观察图形特点,然后做出解答.