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第九章欧氏空间习题
一、填空题
1.设就是一个欧氏空间,,若对任意,都有,则。
2.在维欧氏空间中,向量在标准正交基下得坐标就是,那么,。
3.若就是一个正交矩阵,则方程组得解为 。
4、已知三维欧式空间中有一组基,其度量矩阵为,则向量得长度为　　　　　　　。
5、设中得内积为,则在此内积之下得度量矩阵为 　　　。
6.设,,,若与正交,则 。
7.若欧氏空间在某组基下得度量矩阵为,某向量在此组基下得坐标为,则它得长度为 ,在此基下向量与向量得夹角为 。
8.在欧氏空间中,若线性相关,且,则 。
9.就是度量阵,则必须满足条件______________。
10.线性空间在不同基下得过渡阵、线性变换在某组基下得矩阵、欧氏空间得度量阵这三类矩阵中,可以为退化阵得就是 。
11、 在欧氏空间中,向量,,那么=___________,
=___________。
12、 两个有限维欧氏空间同构得充要条件就是__________________。
13、 已知就是一个正交矩阵,那么=__________,＝__________。
14、 已知为阶正交阵,且,则= 。
15、 实对称矩阵得属于不同特征根得特征向量就是彼此 得。
16、设,则与得夹角 。
17、在维欧氏空间中,级矩阵就是某个基得度量矩阵得充要条件就是 。
二、判断题
1.在实线性空间中,对向量,,定义,那么构成欧氏空间 ( )
2.在实线性空间中,对于向量,,定义,则构成欧氏空间。 ( )
3.就是欧氏空间得一组基,对于中任意向量,均有,(,分别就是在此基下得坐标)),则此基必为标准正交基。 ( )
4.欧氏空间中得线性变换可以将椭圆映射成圆。 ( )
5.V与W均欧氏空间且同构,则它们作为线性空间也必同构。 ( )
6.设就是一个欧氏空间,,,则与正交。()
7.设就是一个欧氏空间,,并且,则线性无关。( )
8.若都就是欧氏空间得对称变换,则也就是对称变换。 ( )
9.欧氏空间中,为对称变换。 ( )
10.就是欧氏空间得线性变换,中向量得夹角为,而得夹角为,则不就是得正交变换。 ( )
11、就是维欧氏空间得一组基,矩阵,其中,则A就是正定矩阵。( )
12、 欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 ( )
13、 若就是正交变换,则保持向量得内积不变 ( )
14、 正交矩阵得行列式等于1 ( )
15、 欧氏空间上得线性变换就是对称变换得充要条件为关于标准正交基得矩阵为实对称矩阵。 ( )
16、 设与都就是阶正交矩阵,则也就是正交矩阵。( )
17、 在欧氏空间中,若向量与自身正交,则。( )
18、 设就是维欧氏空间得正交变换,则在任意基下得矩阵就是正交矩阵。( )
19、 设就是维欧氏空间得两个正交子空间且,则。( )
20、 实对称矩阵得任意两个特征向量都正交。( )
三.选择题
1.关于欧几里得空间,下列说法正确得就是 ( )
(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间;
(B)欧几里得空间未必就是线性空间;
(C)欧几里得空间必为实数域上得线性空间;
(D)欧几里得空间可以为有理数域上得线性空间。
2. 设就是相互正交得维实向量,则下列各式中错误得就是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3. 对于阶实对称矩阵,以下结论正确得就是 ( )
(A)一定有个不同得特征根;(B)存在正交矩阵,使成对角形;
(C)它得特征根一定就是整数;(D)属于不同特征根得特征向量必线性无关,但不一定正交
4.设就是维欧氏空间得对称变换,则 ( )
(A)只有一组个两两正交得特征向量; (B)得特征向量彼此正交;
(C)有个两两正交得特征向量;
(D)有个两两正交得特征向量有个不同得特征根。
5.,,定义:,则满足下列何中情况可使作成欧氏空间 ( )
(A); (B)就是全不为零得实数;
(C)都就是大于零得实数; (D)全就是不小于零得实数
6.,,为三阶实方阵,定义,下列可使定义作为得内积得矩阵就是 ( )
(A); (B);
(C); (D)、
7.若欧氏空间得线性变换关于得一个标准正交基矩阵为,则下列正确得就是 ( )
(A)就是对称变换; (B)就是对称变换且就是正交变换;
(C)不就是对称变换; (D)就是正交变换。
8.若就是维欧氏空间得一个对称变换,则下列成立得选项就是 ( )
(A)关于得仅一个标准正交基得矩阵就是对称矩阵;
(B)关于得任意基得矩阵都就是对称矩阵;
(C)关于得任意标准正交基得矩阵都就是对称矩阵;
(D)关于得非标准正交基得矩阵一定不就是对称矩阵。
9.若就是维欧氏空间得对称变换,则有 ( )
(A)一定有个两两不等得特征根; (B)一定有个特征根(重根按重数算);
(C)得特征根得个数; (D)无特征根。
10.,如下定义实数中做成内积得就是()
(A); (B);
(C); (D)、
11、 若线性变换与就是( ),则得象与核都就是得不变子空间。
互逆得 可交换得 不等得 D、 不可换得
12、 设就是维欧氏空间,那么中得元素具有如下性质( )
若; 若;
若; D、若。
13、 欧氏空间中得标准正交基就是( )
;;; ;;
;;; D、 ;;。
14、 设就是欧氏空间得线性变换,那么就是正交变换得必要非充分条件就是( )
保持非零向量得夹角; 保持内积;
保持向量得长度; D、 把标准正交基映射为标准正交基。
15、 为阶正交方阵,则
为可逆矩阵 B、 秩 C、 D、
16、 下列说法正确得就是( )
A、 实对称矩阵得属于不同特征值得特征向量必正交;
B、 实对称矩阵得属于相同特征值得特征向量必不正交;
C、 实对称矩阵得所有特征向量都正交;
D、 以上都不对。
17、 维欧氏空间得标准正交基( )、
A、 不存在 B、 存在不唯一; C、 存在且唯一; D、 不一定存在。
18、 若就是实正交阵,则下列说法不正确得就是( )。
(A) 　(B)
(C) 　　　 　(D)。
四、计算题
1.已知。求正交矩阵,使成对角形。
2.已知二次型,问
(1)为何值时二次型就是正定得？
(2)取,用正交线性替换化二次型为标准形。
3.已知二次型,通过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32,求及所用得正交变换得矩阵。
4.设A为三阶实对称矩阵,其特征值l1= -1, l2=l3=1,已知属于l1得特征向量a1=(0,1,1),求 A。
5.在[0,2π]上所有连续函数得全体构成得欧氏空间中,判断:对任意正整数n,集合

就是否正交向量组。
6.欧氏空间中,定义内积,求其在基(1,0),(0,1)下得度量阵。并求一组基,使得在此基下得矩阵为对角阵,且在此基下所有向量得长度不变。说明为什么对角阵不就是单位矩阵。
7.将二次曲面通过正交变换与平移变成标准形式。
8.设欧氏空间得线性变换为问:就是否为得对称变换？若就是,求出得一个标准正交基,使在这个基下得矩阵为对角形矩阵。
9、 把向量组,扩充成中得一组标准正交基。
10、 设为得基,且线性变换在此基下得矩阵为

(1)求得特征值与特征向量;
(2)就是否可以对角化？如果可以,求正交矩阵使得为对角形.
五、证明题
1.设,为同级得正交矩阵,且,证明:.
2.设就是欧氏空间得线性变换,且

证明:就是得对称变换。
3.证明:维欧氏空间与同构得充要条件就是,存在双射,并且有.
4.设与为欧氏空间得两组向量。证明:如果
,,
则子空间与同构。
5.证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立:
(1);(2)
在解析几何里,等式(1)得几何意义就是什么?
6、设为欧氏空间得两个对称变换。证明: 也就是V得对称变换。
7.证明:实系数线性方程组,有解得充分且必要条件就是向量与齐次线性方程组,得解空间正交。
8.设为实对称矩阵,证明:当实数t充分大后,就是正定矩阵。
9.设与就是维欧氏空间得两组向量,证明:存在正交变换,使得,()成立得充分必要条件就是,。