高等数学定积分应用习题答案.pdf
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1、第六章定积分的应用习题6-2(A)1 求下列函数与 x 轴所围部分的面积:(1)y x2 6x 8,0,3(2)y 2x x2,0,32 求下列各图中阴影部分的面积:1.图 6-13求由下列各曲线围成的图形的面积:(1)y ex,y ex与 x 1;(2)y ln x 与 x 0,y ln a,y ln b(b a 0);(3)y 2x x2与 y x,y 0;(4)y2 2x,y2(x 1);(5)y2 4(1 x)与 y 2 x,y 0;(6)y x2与 y x,y 2x;(7)y 2 sin x,y sin 2x(0 x);8)y x2(2,x2 y2 8(两部分都要计算);14求由曲线
2、 y ln x 与直线 y 0,x e1,x e 所围成的图形的面积。5求抛物线 y x2 4x 3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。6求抛物线 y2 2px 及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形 的面积。7求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图 形的面积。8求椭圆x2y2a2b2 1 所围图形的面积。9求由摆线 x a(t sint),y a(1 cost)的一拱(0 t 2)与横轴所围图形的面积。10求位于曲线 y ex下方与由该曲线过原点 的切线的左方及 x 轴之间的图形的面积。11求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积:(1)2a sin(a 0);(2)
3、2a(2 cos)(a 0);(3)2 2 cos 2(双纽线);12.把抛物线 y2 4ax及直线 x x0(x0 0)所围成的图形绕 x 轴旋转,计算所得旋转抛物体的体积。13.由 y x3,x 2,y 0 所围成的图形,分别绕 x 轴及 y 轴旋转,计算所得两个旋转体的体积。14求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)y achxa与 x 0,x a,y 0,绕 x 轴;(2)y sin x 与 y 2x,绕 x 轴;(3)y sin x 与 y cos x(0 x 2),绕 x 轴;(4)y ln x,与 x 2,y 0 绕 y 轴;(5)y 2x x2与
4、 y x,y 0 绕 y 轴;(6)(x 5)2 y2 16,绕 y 轴;15.求由抛物线 y2 4(1 x)及其在(0,2)处的切线和 x 轴所围的图形绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积。16.求 x2 y2 4,x 3y2所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体 积。.一立体以椭圆x217100y225 1为底,垂直于长轴的截 面都是等边三角形(图 6 2),求其体积。218.求底面是半径为 R的圆,而垂直于底面上 一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积。19.计算曲线 y ln x 上相应于3 x 8 的一段弧的长度。20.计算曲线 y x(3 x)上相应于 1 x 3 的一段弧(
5、6 3)的长度。321.求对数螺线 ea相应于 0 到的一段弧长。22.求曲线 1相应于34到的一段弧长。43x arctant23.求曲线上自t 0 到t 1的一段弧长。12y ln(1 t)224.求摆线 x 1 cost,y t sint 上相应于0 t 2的一拱的长度。习题6-2(B)1求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积:(1)3a 与 2a cos;(2)3cos与 1 cos;(3)2 sin与2 cos 2;2.假设曲线 L1:y 1 x2(0 x 1)与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2:y ax2分成面积相等的两部分(图6 4),其中a 是大于零的常数,试确 定
6、a 的值。3.用积分方法证明 图 6 5 中球缺的体积为HV H2(R).3x2124.一铁铸件,其形状为两 抛物线 y,y x 1 与直线 y 10 围成的图形绕 y 轴旋转1010而成的旋转体,铁的密 度是 7.8(g/cm3),求铸件的质量。5.求 y x,y 2 及 x 0 所围成的图形 绕(1)x 轴;(2)y 轴;(3)直线 y 2;(4)直线 x 4旋转而成的旋转体的体 积。6.求 x2 y2 a2,绕 x b(b a 0)旋转所成旋转体的体积。7.求第一象限内由曲线x y y3和 y 轴围成的平面图形绕直线y 1旋转而成的旋转体的体积。38.求由摆线 x a(t sint),y
7、 a(1 cost)的一拱(0 t 2)与x轴所围图形绕直线y 2a 旋转而成的旋转体的体积。9.证明由平面图形 0 a x b,0 y f(x)绕 y 轴旋转而成的旋转体的 体积为2bax f(x)dx.10.在摆线 x a(t sint),y a(1 cost)上求分摆线第一拱的弧 段长为1:3 的分点坐标。11.求抛物线 y 12x被圆 x2 y2 3 所截下的有限部分的弧 长。212.计算半立方抛物线 y22x(x 1)3被抛物线 y2截得的一段弧 的长度。3313.证明曲线y sin x(0 x 2)的弧长等于椭圆 x2 2y2 2 的周长。2x3232a314.求由星形线 y(或
8、x a cos3t,y a sin3t,a 0)(1)所围成的图形的面积;(2)所围成的图形的绕 x 轴旋转而成的旋转体体 积;(3)整个弧长。15.利用元素法证明由 xoy 平面上一段曲线弧y f(x),(f(x)0,0 x b)绕 x 轴旋转一周产生的曲面(称为旋转曲面)的表 面积(或称为旋转体的侧面 积)为2baf(x)1 f2(x)dx.并利用此公式证明半径 为 R 的球体的表面积为 4R2.习题6-3(A)1.由实验知道,弹簧拉伸过程中,需要的力 F(单位:N)与伸长量 s(单位:cm)成正比,即F ks(k 是比例系数),计算把弹簧拉伸 6(cm)所作的功。2.直径为 20(cm)
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