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一次函数综合专题

2017年八年级秋季培优讲义
一次函数综合专题
一、知识要点
1．理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系，掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质；
2．能较熟悉作出一次函数的图象；
3．结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力；
4．理解一次函数图象上的点与二元一次方程组解的关系，会用图象法解二元一次方程组；
5．从函数的观点明确一元一次方程、二元一次方程组、不等式之间的关系．
二、基础能力测试
1．下列图象不能表示y是x的函数关系的是( )
A
B
C
D
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O

2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝·
3．下面哪个点在函数y＝x＋1的图象上( )
A．y＝2x－1 B．y＝ C．y＝2x2 D．y＝－2x＋1
5．一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，－1)和(0，3)，那么这个一次函数的解析式是( )
A．y＝－2x＋3 B．y＝－3x＋2 C．y＝3x－2 D．y＝x－3
6．若一次函数y＝(3－k)x－k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是( )
A．k＞3 B．0＜k≤3 C．0≤k＜3 D．0＜k＜3
7．已知一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，那么这个一次函数的解析式为( )
A．y＝－x－2 B．y＝x－6 C．y＝－x＋10 D．y＝－x－1
8．已知一次函数y＝－x＋a与y＝x＋b的图象相交于点(m，8)，则－a－b＝_____
9．如果直线y＝－2x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_______．
10．已知两点A(－1，2)，B(2，3)，若x轴上存在一点，能使得PA＋PB的值最小，则P点的坐标为_____．
11．如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点一出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．
⑴当t＝3时，求l的解析式；
⑵若点M，N位于l的异侧，确定t取值范围；
⑶直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
y
O
l
M
N
P
A
x
1
第11题图

12．在平面直角坐标系中有三点A(0，1)，B(1，3)，C(2，6)，已知直线y＝ax＋b的横坐标为0，1，2的点分别是D，E，F，试求a，b之值使得DA2＋EB2＋FC2取得最小值．(已知点的横坐标可代入y＝ax＋b求纵坐标)．

三、典型例题
※函数的图像及其性质
【例1】已知：已知函数y＝(1－3k)x＋2k－1．
⑴当k______时，此函数为一次函数；
⑵当k______时，此函数为正比例函数，当k______时，函数图象经过原点；
⑶当k______时，y随x的增大而减；当k______时，函数图象不经过第三象限；
⑷当k______时，函数图象过(1，2)点，当k______时，函数图象与y＝x＋2的交点在x轴上；
⑸当k______时，函数图象平行于直线y＝－x＋1；
⑹当k______时，与y轴的交点在x轴下方；当k______时，函数图象交x轴于正半轴．

※函数与方程
【例2】⑴直线y＝kx＋b经过点(－，0)且与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，求直线的解析式．
⑵已知直线l1经过点A(2，3)和B(－1，－3)，直线l2与l1相交于点C(－2，m)，与y轴交点的纵坐标为1．
①试求直线l1和l2的解析式；②求出l1、l2与x轴围成的三角形面积。

【例3】⑴点(0，1)向下平移2个单位后的坐标是______，直线y＝2x＋1向下平移2个单位后的解析式是_________．
⑵直线y＝2x＋1向右平移2个单位后的解析式是_________；
⑶如图，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x＋1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移3个单位，求平移后的直线的解析式．
y
A
B
O
x
例3⑶图

※函数与不等式
【例4】⑴如图，直线y＝kx与y＝ax＋b交于点P(－3，2)，那么关于x的不等式组0＜kx＜ax＋b的解集是____________．

⑵如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x＞kx＋b＞－2的解集为________．

⑶如图，函数y1＝kx＋m与y2＝ax＋b(a＜0)的图象交于P，则根据图象可得不等的解集为______________．
y
P
O
x
y1=kx
y2=ax+b
例4⑴图
y
A
O
B
x
例4⑵图
例4⑶图
y
P
O
x
y2=ax+b

y1=kx+m

-1
-2
2

※函数与实际生活
【例5】⑴一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如5图所示：
①根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
②若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
③甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B油站，求A加油离甲地的距离．
例5图
O
y(千米)
x(小时)
600
6
10
出租车
客车

⑵今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱，从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．
①设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表；
调入地
调出地
甲
乙
总计
A
x

14
B

14
总计
15
13
28

②请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．(调运量＝调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米)

※函教与几何综合
【例6】如图，已知两条直线l1:y＝x，l2:y＝－x＋2，设P是y轴的一个动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使得它与直线l1，l2分别交于点D、E(E在D的上方)，且△PDE是等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
例6图
l1：y=x
l2：y=-x+2
O
y
x
l1：y=x
l2：y=-x+2
M
N
x
y
O

【例7】⑴已知直线y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，且点P(1，a)为坐标系中的一个动点。
⑴求三角形ABC的面积S△ABC；
⑵要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。
例7图
P
y
B
C
A
x
O

（2）如图，与x轴交于点A，且绕A点顺时针旋转90°后与y轴交于点B（0，－4）
1）求k的值；
2）求该直线绕A点顺时针旋转45°后的解析式；
3）在该直线上是否存在点C，使S△ABC=2S△ABO，若存在，试求出C点，若不存在试说明理由．

（3）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．
1）求直线AB的解析式；
2）若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m的值．
3过点A的直线y=kx－2k交y轴负半轴于点P，N点的很坐标为－1，过N点的直线交AP于点M，试证明：的值是定值．

拓展：已知两点A（－2,0）和B（4,0），点P在一次函数的图象上，它的横坐标为m．
（1）当m取什么值时，△PAB是直角三角形．
（2）当m取什么值时，△PAB是钝角三角形．

四、反馈练习
1．若直线y=－x－4与x轴交于点A，直线上有一点M，且△AOM的面积为8，求点M的坐标．

2．一次函数y=kx＋b的图象经过点（－1，－5）与正比例函数的图象相交于点（2，a），
求：（1）a的值；（2）k，b的值；（3）这两个函数与x轴所围成的三角形面积．

3．（1）如图，直线AB的解析式为y1=k1x＋b1，直线AC解析式为y2=k2x＋b2，他们分别与x轴交于点B、C，且B、A、C三点的横坐标分别为－1、－1、2，且满足y1＞y2＞0的x的取值范围是_______________．
（2）如图，已知函数y=3x＋b和y=ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是________________．
（3）如图，直线y=kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组＜kx＋b＜0的解集为_______________．

（4）如图，函数y=kx＋m与y=ax＋b（a＜0）的图象交于P，则根据图象可得不等式的解集为_________________．

4．哈尔滨市移动通讯公司开设两种通讯业务：全球通使用者先缴50元月基础费，然后每通话1min付话费0．4元，神州行不交月基础费，每通话1min付话费0．6元，若设一个月内通话xmin，两种通讯方式的费用分别为y1和y2元，求：
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）在同一只脚坐标系中画出两函数的图象；
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算？

5．如图1，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地两车同时出发，匀速行驶图2时客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）填空：A，B两地相距__________千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇？

6．如图，直线y=kx＋6与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为（－8，0），点A的坐
标为（－6，0）．点P（x，y）是直线上第二象限内的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积为，并说明理由．

7．如图，直线和x、y轴分别交于点A、B，∠BAO=30°，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（m，1），且△ABP的面积
与△ABC的面积相等，求m的值．

8．已知点A（4，0），B（0，3），C在x轴的正半轴上，且BC=．
（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）设点P在第一象限且在直线BC上，它的坐标为（m，n）．
①把△OAP的面积S表示成m的函数，并写出自变量m的取值范围；
②若OP把△OBC的面积分成的两个三角形的面积之比为1:2，求直线OP的解析式．

9．如图1，直线y=kx＋4k（k≠0）交x轴于点A，交y轴于点C，点M（2，m）为直线AC上一点，过点M的直线BD交x轴于点B，交y轴于点D．
（1）求的值（用含有k的式子表示）；
（2）若S△BOM=3S△DOM，且k为方程（k＋7）（k＋5）－（k＋6）（k＋5）=的跟，求直线BD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为线段OD之间的动点（点P不与点O和点D重合），OE⊥AP于E，DF⊥AP于F，下列两个结论：①值不变；②值不变，请你判断其中哪一个结论是正确的，并说明理由并求出其值．

10．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，－1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．