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专题复习4-：指数函数对数函数和幂函数

指数函数、对数函数和幂函数
1、指数函数的图象和性质
指数函数的定义：一般的，函数叫做指数函数。

图
象

定义域/值域
定义域:____________; 值域:_________________
单调性
在_____是增函数
在_____是增函数。
定点
过定点_____，即x=0时，y=1；
过定点_____，即x=0时，y=1；
值和
图象
的分
布
（1）当_____时，0<y<1；
当_____时， y>1；
（2）图象位于_____轴上方；
向左无限接近轴；底数a越大，向上越靠近____轴。
（1）当_____时，0<y<1；
当_____时， y>1；
（2）图象位于_____轴上方；向右无限接近轴；底数a越小，向上越靠近____轴。
指数函数与的图象关于_______对称。
考点一：
指数函数的图象

【例1】如图，指出函数①y=ax; ②y=bx; ③y=cx; ④y=dx的图象，则a,b,c,d的大小关系是（ ）
A a<b<1<c<d　　　　B b<a<1<d<c
C 1<a<b<c<d　　　　D a<b<1<d<c
【例2】函数和在同一坐标系中的图象可能是 ( )

A B C D
【例3】方程 的解是
‚方程的有_____个实数解;

考点二：
底数对指数函数单调性等性质的影响
【例1】已知指数函数：
（1）若在R上是减函数，实数a的取值范围；
（2）当时， 的值总大于1，求实数a的取值范围。

例2、已知定义域为的函数是奇函数。
（1） 求的值；
（2） 解关于的不等式

2、对数函数的图象和性质
对数函数定义 ：一般地，函数叫做对数函数。

图
象

定义域/值域
定义域：___________ 值域:______________
单调性

定点
过定点_____，即x=1时，y=0；
过定点______，即x=1时，y=0；
值和
图象
的分
布
（1）当_____时，y<0；
当_____时， y>0；
（2）图象位于_____轴右侧；向下无限接近轴；底数a越大，向右越靠近____轴。
（1）当_____时，y<0；
当_____时， y>0；
（2）图象位于_____轴右侧；向上无限接近轴；底数a越小，向右越靠近____轴。
对数函数与的图象关于_______对称。

3、指数函数与对数函数的关系
①互为反函数：②的定义域是的值域，的值域是的定义域；反之也成立；③图像关于直线y=x对称。

考点三
对数函数的图象
【例1】下列函数图象正确的是 （ ）

A B C D
【例2】函数，，，
的图象如图①, ②, ③, ④所示，则a、b、c、d的大小顺序是（ ）
A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b

例3、设函数且
（1）求的定义域；
（2）求的值域；
（3）讨论的单调性。

例4、已知函数，其中常数满足
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，求时的范围。

4、幂函数的图象和性质（第一象限）
幂函数定义：一般的，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 通常我们只研究幂函数在第一象限的图象和性质，其它象限利用奇偶性研究.
幂函数在第一象限的图象和性质：

图
象

单调性

定点
过定点_____和__________
过定点______

图象
的分
布

在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图像在轴右方无限的逼近轴，当x 趋于时，图像在轴上方无限的逼近x轴。

当时，图象在的上方；当时，图象在的下方；
当时，图象在的下方；当时，图象在的上方；

考点四
幂函数的定义
【例1】已知函数，当为何值时，是：
（1）幂函数？ （2）在上单调递减的幂函数？

考点五
幂函数的图象
【例2】如图2—15的曲线是指数函数的图象，已知a的值取、、、，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的a值依次为( )
A．，，， B．， ，，
C．，， ， D．， ， ，

【例3】下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（A） （B） （C） （D） （E） （F）

考点六
幂函数的性质
【例1】已知幂函数在是减函数，
求的解析式并讨论单调性和奇偶性。

【例2】设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ） （A） （B） （C） （D）

考点七
与指数、对数、幂函数定义域相关的问题
【例1】求下列函数的定义域：
（1） （2）

(3) (4)

(5) （6）

考点八
与指数、对数、幂函数值域相关的问题
【例1】（1）函数y＝log2x的定义域是［1，64，则值域是________
(2) 当时，的值域是_________
(3) 函数的值域是_______
（4）函数在区间上的值域是______
考点八
利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图象比较大小
【例1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】比较下列各组中两个值大小
（1）
【例3】实数由小到大的顺序是
【例4】设，则
A. B. C. D.
【例5】若0<a<1，则log，log，log三者的大小关系为 ( )
(A)log>log>log (B)log>log>log
(C)log>log>log (D)log>log>log

【例6】设且, 则a、b的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【例7】若，那么满足的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
【例8】已知，将四数从小到大排列（ ）
A． B． C． D．
考点十
指数函数与对数函数的关系
【例1】 函数的图像关于对称的曲线的函数解析式（ ）
A、 B、 C、 D、
【考点十】利用指数或对数函数的单调性的简单应用
【例1】若函数在R上为增函数，则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【例2】若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）
A. B. C. D.
【例3】，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【例4】解关于的不等式

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