专题一:函数概念.doc
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1、专题一:函数概念 专题一: 函数概念与表示一课标要求1通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念;2在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;3通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;4通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义;5学会运用函数图象理解和研究函数的性质。要点精讲1函数的概念:设A、B是非空的数集,如
2、果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),xA。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x。2构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:自然型:指
3、函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法(将函数转化为二次函数);判别式法(将函数转化为二次方程);不等式法(运用不等式的各种性质);函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。3两个函数的相等:函数的定义含有三个
4、要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。4区间(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;(3)区间的数轴表示。5映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数
5、集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。注意:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。6常用的函数表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解
6、析式不同,这种函数又称分段函数;8复合函数若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域。四典例解析题型一:函数概念例(1)设函数(2)设函数f(x),则满足f(x)=的x值为 。解:(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换, =(2)当x(,1,值域应为,当x(1,)时值域应为(0,),y,y(0,),此时x(1,),log81x,x813。点评:讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等),这都是函数学习的常用基本功。变式题:设( )A0 B1 C2 D3解:
7、选项为C。题型二:判断两个函数是否相同例试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1)f(x)=,g(x)=;(2)f(x)=,g(x)=(3)f(x)=,g(x)=()2n1(nN*);(4)f(x)=,g(x)=;(5)f(x)=x22x1,g(t)=t22t1。解:(1)由于f(x)=|x|,g(x)=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;(2)由于函数f(x)=的定义域为(,0)(0,+),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数;(3)由于当nN*时,2n1为奇数,f(x)=x,g(x)=()2n1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;(
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