七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案).doc

七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案)

七年级数学：相交线与平行线 培优复习
例题精讲
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
解：∵　a∥b，
∴　∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
∴　∠1＝∠2 (等式性质)
则　3x+70＝5x+22　解得x=24
即∠1＝142°　
∴　∠3＝180°-∠1＝38° 图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

解：∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）
则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2)
∴∠B=60°（等式性质）
即∠BEF=60°（等量代换）
∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分线定义）

例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

解：过E作EF∥AB
∵　AB∥CD（已知）
∴　EF∥CD（平行公理）
∴　∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）
∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF
∴　∠DEB =∠D-∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3）

例4．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？

解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
…
则　n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=n(n-1)
评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？

解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条
评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)

例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；
同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
…
∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域
思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

巩固练习
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条
A．6　B． 7　　C．8　　D．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　）
A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　）
A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条
4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　）
A．4对　　B．8对　　C．12对　　D．16对
6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( )
A．90°　　B．135°　　C．150°　　D．180°
第7题
7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系 ；
8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还
有 交点
9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。
10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS^GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝ 。
11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。
13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B

第13题
14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

第14题
15．如图，已知CB^AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，
∠EDC+∠ECD =90°，
求证：DA^AB

16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？

17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？

18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？

19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。

答案
1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C
2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D
3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段
对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21条不重叠的线段。故选D
4．由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线上，可以画出6条直线，
∴ 整理得
∵ n+9＞0 ∴ ∴选B。
5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6＝16对

6．∵FD∥BE
∴∠2=∠AGF
∵∠AGC=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B7．解：∵AB∥CD 　（已知）
　　　 ∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2　　　（已知）
∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）
即∠EAD=∠FDA
　　　 ∴AE∥FD
　　　 ∴∠E＝∠F
8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）
又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个
9．可分7个部分10．解 ∵AB∥CD∥EF
∴∠APQ＝∠DQG=∠FRG=110°
同理∠PSQ=∠APS
∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ
=110°-90°=20°
11． 0个、1个或无数个
1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；
2）若AB^L，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；
3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个
12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点
13．证明：过E作EF∥BA
∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）DE∥CB，
EF∥BA
∴∠1=∠B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）
∴∠1+∠2=∠B+∠A（等式性质）
即∠AED=∠A+∠B
14．证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，
则AB∥EH∥PF∥GQ（平行公理）
∵　AB∥EH
∴　∠ABE＝∠BEH（两直线平行，内错角相等）
同理：∠HEF＝∠EFP
　　　　　∠PFG＝∠FGQ
∠QGD＝∠GDC
∴　∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC＝∠BEH+∠HEF+
∠FGQ+∠QGD（等式性质）
即　∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD
15．证明：∵DE平分∠CDA 　CE平分∠BCD∴∠EDC=∠ADE ∠ECD =∠BCE　(角平分线定义)
∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE
=2（∠EDC+∠ECD）＝180°
∴　DA∥CB
又∵　CB^AB
∴　DA^AB
16．两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=17

17．（1）2个圆相交有交点2×1＝1个，
第3个圆与前两个圆相交最多增加2×2＝4个交点，这时共有交点2+2×2＝6个
第4个圆与前3个圆相交最多增加2×3＝6个交点，这时共有交点2+2×2+2×3＝12个
第5个圆与前4个圆相交最多增加2×4＝8个交点
∴　5个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×4＝20
（2）2个圆相交将平面分成2个区域
3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有2×2＝4个不同的交点，这4个点将第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6块
4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2×3＝6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12块
5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2×4＝8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20块

18．∵ 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3
条直线，
∴ 最多能确定15+3+1=19条直线
19．将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180°
假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23°,
∴ 在所有的交角中至少有一个角小于23°
20．平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图这三组平行线即为所求。

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