同济大学(高等数学)-第四篇-无穷级数.doc

第四篇 无穷级数
第七章 无穷级数
无穷级数就是高等数学课程得重要内容,它以极限理论为基础,就是研究函数得性质及进行数值计算方面得重要工具、　本章首先讨论常数项级数,介绍无穷级数得一些基本概念与基本内容,然后讨论函数项级数,着重讨论如何为将函数展开成幂级数与三角级数得问题,最后介绍工程中常用得傅里叶级数、
第１节 常数项级数得概念与性质
１、1常数项级数得概念
一般得,给定一个数列　

则由这数列构成得表达式

叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数,　记为, 即
,
其中第项叫做级数得一般项。
作级数得前项与

称为级数得部分与。 当n依次取１,2,３…时,它们构成一个新得数列
,,,…,
,…
根据这个数列有没有极限,我们引进无穷级数得收敛与发散得概念、
定义 如果级数得部分与数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数得与, 并写成
;
如果没有极限, 则称无穷级数发散、
当级数收敛时, 其部分与就是级数得与得近似值, 它们之间得差值

叫做级数得余项。
例1　讨论等比级数(几何级数)(ａ¹0)得敛散性.
解 如果, 则部分与
.
当时, 因为,　所以此时级数收敛, 其与为。
当时, 因为, 所以此时级数发散.
　　 如果,　则当时, , 因此级数发散;　
当时, 级数成为
,
因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以得极限不存在, 从而这时级数
发散、
　 综上所述, 如果,　则级数收敛, 其与为; 如果, 则级数发散.
例2　判别无穷级数得收敛性.
解 由于
,
因此
,
而 ,故该级数发散。
例3 判别无穷级数得收敛性。
解 因为
,
所以

　 　　 ,
从而
,
所以这级数收敛, 它得与就是1、
1.2 收敛级数得基本性质
根据无穷级数收敛、发散得概念,可以得到收敛级数得基本性质。
　 性质1如果级数收敛于与, 则它得各项同乘以一个常数所得得级数也收敛,　且其与为.
　证明 设与得部分与分别为与,　则
,
这表明级数收敛, 且与为.
　 性质2 如果级数、分别收敛于与、, 则级数也收敛, 且其与为、
证明　如果、、得部分与分别为、、, 则

　　　 　 　　 　 　 。
　性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数得收敛性、
　 　 比如,　级数就是收敛得;
　 　　 级数也就是收敛得;
　　 　 　　　 级数也就是收敛得。
性质4 如果级数收敛, 则对这级数得项任意加括号后所成得级数仍收敛, 且其与不变。
应注意得问题: 如果加括号后所成得级数收敛, 则不能断定去括号后原来得级数也收敛. 　例如, 级数(1－１)+(1—１) +× × ×收敛于零, 但级数１—1+1—１+× × ×却就是发散得、
推论 如果加括号后所成得级数发散,　则原来级数也发散、
性质５ 如果收敛,　则它得一般项趋于零, 即.
证明 设级数得部分与为,　且, 则
、
　　 注: 级数得一般项趋于零并不就是级数收敛得充分条件、
例6 证明调与级数

就是发散得.
　　 证明　假若级数收敛且其与为, 就是它得部分与、　
显然有及。　于就是。
但另一方面, 　
,
故,　矛盾. 这矛盾说明级数必定发散、
习题7-１
1、 写出下列级数得前四项:
　 (1) ; 　 　 　 　 　 (2).
2。 写出下列级数得一般项(通项):
　 (1) ;　 　 　(2);
　 (3).　　
3。 根据级数收敛性得定义,判断下列级数得敛散性:
(1) ;　　 　 　 　(２)。
４.　判断下列级数得敛散性:
　 (1)　; 　 　 　 (２);
(３)　 　 　 　 　 　 　 (4)。
第２节 　常数项级数得收敛法则
2、１ 正项级数及其收敛法则
现在我们讨论各项都就是正数或零得级数,这种级数称为正项级数。
设级数 　
　 (７-2—1)
就是一个正项级数,它得部分与为、显然,数列就是一个单调增加数列,即:

如果数列有界,即总不大于某一常数,根据单调有界得数列必有极限得准则,级数(7-2-１)必收敛于与,且。 反之,如果正项级数(7—２—1)收敛于与.根据有极限得数列就是有界数列得性质可知,数列有界. 因此,有如下重要结论:
定理 1　正项级数收敛得充分必要条件就是它得部分与数列｛｝有界、
定理２　(比较审敛法) 设与都就是正项级数, 且 .　若级数收敛, 则级数收敛;　反之, 若级数发散, 则级数发散.
证明 　设级数收敛于与,　则级数得部分与

即部分与数列有界, 由定理１知级数收敛。
反之,　设级数发散, 则级数必发散、 因为若级数收敛, 由上已证明得结论, 将有级数也收敛,　与假设矛盾、
推论 设与都就是正项级数, 如果级数收敛,　且存在自然数N,　使当时有成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当时有成立, 则级数发散。
例1 讨论p-级数

得收敛性, 其中常数。 　
　 解 设.　这时,　而调与级数发散, 由比较审敛法知, 当时级数发散、
　 设、 此时有
、
对于级数,　其部分与
、
因为。 所以级数收敛、 从而根据比较审敛法得推论1可知,　级数当时收敛、
综上所述, p—级数当时收敛, 当时发散、
例2 证明级数就是发散得、 　
证明 因为, 而级数就是发散得, 根据比较审敛法可知所给级数也就是发散得.
定理３ (比较审敛法得极限形式)
　　设与都就是正项级数,　如果, 则级数与级数同时收敛或同时发散。　
　 　证明　由极限得定义可知, 对, 存在自然数Ｎ, 当时,　有不等式
, 　
即。　
　 再根据比较审敛法得推论1,　即得所要证得结论。
例３ 判别级数得收敛性。
　　解　因为, 而级数发散, 根据比较审敛法得极限形式, 级数发散.
用比较审敛法审敛时,需要适当地选取一个已知其收敛性得级数作为比较得基准、最常选用做基准级数得就是等比级数与p-级数、
定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数得后项与前项之比值得极限等于,即
,
则当时级数收敛;当 (或)时级数发散; 当时级数可能收敛也可能发散。
例4 判别级数收敛性。
解 因为
,
根据比值审敛法可知,所给级数收敛。
例５ 判别级数得收敛性、
解 因为
,
根据比值审敛法可知,所给级数发散。
定理5 (根值审敛法,　柯西判别法)
　 设就是正项级数,　如果它得一般项得n次根得极限等于,即
,
则当时级数收敛; 当 (或)时级数发散; 当时级数可能收敛也可能发散.
定理6(极限审敛法)设为正项级数,
　(１)如果(或),则级数发散;
　(2)如果,而(),则级数收敛、
证明 (1)在极限形式得比较审敛法中,取,由调与级数发散,知结论成立、
(2)在极限形式得比较审敛法中,取,当时,p-级数收敛,故结论成立。
例6 判定级数得收敛性.
解　因,故
,
根据极限审敛法,知所给级数收敛。
2。2 交错级数及其审敛法则
下列形式得级数

称为交错级数、 交错级数得一般形式为, 其中、
定理7(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件:
(1) ;
(２) ,
则级数收敛,　且其与, 其余项得绝对值、
证明 设前项部分与为,由
,
及
,
瞧出数列单调增加且有界,　所以收敛。
设,　则也有,所以,从而级数就是收敛得,　且、　
因为｜也就是收敛得交错级数, 所以、
２。3　绝对收敛与条件收敛
对于一般得级数:

若级数收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛, 而级数发散,　则称级数条件收敛.
级数绝对收敛与级数收敛有如下关系:
定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛。
证明 令
。
显然且　 、因级数收敛,故由比较审敛法知道,级数,从而级数也收敛。而,由收敛级数得基本性质可知:
,
所以级数收敛。
定理8表明,对于一般得级数,如果我们用正项级数得审敛法判定级数收敛,则此级数收敛、这就使得一大类级数得收敛性判定问题,转化成为正项级数得收敛性判定问题。
一般来说,如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但就是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散, 则我们可以断定级数必定发散。 这就是因为,　此时｜un|不趋向于零, 从而也不趋向于零, 因此级数也就是发散得.
例7 判别级数得收敛性。　
　 　解 因为|, 而级数就是收敛得, 所以级数也收敛, 从而级数绝对收敛。
　例8 判别级数(为常数)得收敛性.
解　 因为
,
所以当时,级数均收敛;当时,级数绝对收敛;当时,级数发散.
习题7—2
1。 用比较审敛法判定下列级数得收敛性:
　 (1); 　　 　 　 　 　　(2);
(3) ;　 　 (4);
　　(5)、
２、 用比值审敛法判定下列级数得敛散性:
　　(1); 　 　 (２);
(3) ; 　 　 　 　 (4)、
3。 判定下列级数得敛散性:
　　 (１); 　 　 　 　　 　 (2);
　　 (3)　;　 　 　 (4);
　　(5).
4。 判定下列级数就是否收敛?若收敛,就是绝对收敛还就是条件收敛？
　　 (1); 　 　 　 (2);
(３)　;　 　 　 　 　(4)、
第3节 幂级数
3.1　函数项级数得概念
给定一个定义在区间I 上得函数列,　由这函数列构成得表达式
,
称为定义在区间上得(函数项)级数, 记为。
对于区间内得一定点, 若常数项级数收敛, 则称点就是级数得收敛点. 若常数项级数发散,　则称点就是级数得发散点、
函数项级数得所有收敛点得全体称为它得收敛域, 所有发散点得全体称为它得发散域、
　 　在收敛域上,　函数项级数得与就是得函数, 称为函数项级数得与函数,　并写成。 函数项级数得前项得部分与记作, 即
、
在收敛域上有.
函数项级数得与函数与部分与得差

叫做函数项级数得余项。 并有、
3。２　幂级数及其收敛性
函数项级数中简单而常见得一类级数就就是各项都就是幂函数得函数项级数, 这种形式得级数称为幂级数, 它得形式就是
,
其中常数叫做幂级数得系数、
定理1(阿贝尔定理) 对于级数,当时收敛, 则适合不等式得一切x使这幂级数绝对收敛、 反之, 如果级数当时发散, 则适合不等式得一切使这幂级数发散、
证　　先设就是幂级数得收敛点, 即级数收敛。　根据级数收敛得必要条件,有, 于就是存在一个常数, 使
、
这样级数得得一般项得绝对值
、
因为当时, 等比级数收敛, 所以级数收敛, 也就就是级数绝对收敛、 　　　　　 　 　
定理得第二部分可用反证法证明。
倘若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛, 则根据本定理得第一部分, 级数当时应收敛, 这与所设矛盾、　定理得证.
推论　 如果级数不就是仅在点一点收敛, 也不就是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定得正数存在, 使得
　 当时, 幂级数绝对收敛;
　 当时, 幂级数发散;
当与时, 幂级数可能收敛也可能发散。
正数通常叫做幂级数得收敛半径.　开区间叫做幂级数得收敛区间. 再由幂级数在处得收敛性就可以决定它得收敛域.　幂级数得收敛域就是或、、之一、
若幂级数只在收敛,　则规定收敛半径 , 若幂级数对一切都收敛, 则规定收敛半径,　这时收敛域为、
定理2　如果, 其中、就是幂级数得相邻两项得系数, 则这幂级数得收敛半径
.
证明
。
(1) 如果, 则只当时幂级数收敛, 故、
　 (２) 如果, 则幂级数总就是收敛得, 故。
(3)　如果, 则只当时幂级数收敛,　故。
例1　 求幂级数　 得收敛半径与收敛域。　　
解 因为
,
所以收敛半径为、 即收敛区间为。
　 当时, 有,由于级数收敛,所以　级数在时也收敛。因此,　收敛域为、
例2 求幂级数
=
得收敛域。
解 因为
,
所以收敛半径为,　从而收敛域为、
　 例3 求幂级数得收敛半径。
解　因为
,
所以收敛半径为, 即级数仅在处收敛。
　 例4 求幂级数得收敛半径。 　
解 级数缺少奇次幂得项, 定理２不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:
幂级数得一般项记为. 因为
,
当即时级数收敛; 当即时级数发散, 所以收敛半径为、
3.3 幂级数得运算
设幂级数及分别在区间及内收敛, 则在与中较小得区间内有
加法: 。
减法: 。
乘法:
　 　 　　 　　 　　 .　
除法:
关于幂级数得与函数有下列重要性质:
性质1 幂级数得与函数在其收敛域上连续、
性质2　幂级数得与函数在其收敛域上可积, 并且有逐项积分公式
,
逐项积分后所得到得幂级数与原级数有相同得收敛半径。
性质３ 幂级数得与函数在其收敛区间内可导,　并且有逐项求导公式
,
逐项求导后所得到得幂级数与原级数有相同得收敛半径.
例6 求幂级数得与函数、　
解　求得幂级数得收敛域为.　设与函数为, 即
, .
显然、 在得两边求导得:
。
对上式从到积分, 得
.
于就是, 当时,　有、 从而
。
　 提示: 应用公式,　即.　
、
习题7—3
1。求下列幂级数得收敛区间
　 (1)　;　　 　 (２);
　　 (3); 　 　 (4);
　 (5); 　 　(6);
　 　 (7);　 　　 (８).
2、 利用逐项求导法或逐项积分法,求下列级数得与函数
　 (1) ; 　 (2)、
第4节 函数展开成幂级数
4.1函数展开成幂级数
给定函数, 要考虑它就是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就就是说,　就是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其与恰好就就是给定得函数、 如果能找到这样得幂级数, 我们就说,函数能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数.
如果在点得某邻域内具有各阶导数
,
则当时, 在点得泰勒多项式

成为幂级数

这一幂级数称为函数得泰勒级数、
显然, 当时,得泰勒级数收敛于、
需要解决得问题: 除了外, 得泰勒级数就是否收敛？ 如果收敛, 它就是否一定收敛于？　
定理 设函数在点得某一邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内能展开成泰勒级数得充分必要条件就是得泰勒公式中得余项当时得极限为零, 即
　 .
证明 先证必要性。　设在内能展开为泰勒级数, 即
,
又设就是得泰勒级数得前项得与,则在内
、
而得阶泰勒公式可写成,于就是
。
　再证充分性。　设对一切成立。　
因为得阶泰勒公式可写成, 于就是
,
即得泰勒级数在内收敛, 并且收敛于。
在泰勒级数中取, 得
,
此级数称为得麦克劳林级数。
要把函数展开成得幂级数,可以按照下列步骤进行:
第一步 　求出得各阶导数:　。　
第二步　 求函数及其各阶导数在处得值:　
　。
第三步　　写出幂级数
,
并求出收敛半径R。
第四步　 考察在区间(内时就是否、

就是否为零. 如果, 则在内有展开式
。
例１ 试将函数展开成得幂级数、
　　 解 所给函数得各阶导数为, 因此。得到幂级数
,
该幂级数得收敛半径。　
　 由于对于任何有限得数(介于0与之间), 有
,
而, 所以, 从而有展开式
、
例2 将函数展开成得幂级数、
　　 解　因为,　
所以顺序循环地取, 于就是得级数
,
它得收敛半径为、
对于任何有限得数(介于０与之间), 有
.
因此得展开式
　　 .
例3　将函数展开成x得幂级数,　其中为任意常数、 　
解　得各阶导数为

所以

且
于就是得幂级数
.
以上例题就是直接按照公式计算幂级数得系数,最后考察余项就是否趋于零.这种直接展开得方法计算量较大,而且研究余项即使在初等函数中也不就是一件容易得事。下面介绍间接展开得方法,也就就是利用一些已知得函数展开式,通过幂级数得运算以及变量代换等,将所给函数展开成幂级数、这样做不但计算简单,而且可以避免研究余项.
例4 将函数展开成得幂级数。
解 已知
、
对上式两边求导得
。
例5 将函数展开成得幂级数。　
　 　 解　 因为,　而就是收敛得等比级数得与函数:　
。
所以将上式从0到逐项积分,　得

　　 　　 　 　 　 、
上述展开式对也成立, 这就是因为上式右端得幂级数当时收敛, 而在处有定义且连续、
常用展开式小结:　
,
　 ,
　　 　　,
,
　 ,

4、2　　幂级数得展开式得应用
4.2。1 近似计算
有了函数得幂级数展开式,就可以用它进行近似计算,在展开式有意义得区间内,函数值可以利用这个级数近似得按要求计算出来、
例6 计算得近似值(误差不超过).
解 　因为, 所以在二项展开式中取, ,　即
.
这个级数从第二项起就是交错级数, 如果取前项与作为得近似值, 则其误差(也叫做截断误差)可算得

　为了使误差不超过, 只要取其前两项作为其近似值即可、　于就是有
.
例7　利用 求得近似值,　并估计误差。
解 首先把角度化成弧度,
(弧度)(弧度),
从而　
　。
其次, 估计这个近似值得精确度。 在得幂级数展开式中令, 得
。
等式右端就是一个收敛得交错级数, 且各项得绝对值单调减少、 取它得前两项之与作为得近似值, 起误差为
。
因此取　
, 。
于就是得 ,这时误差不超过、
例8　计算定积分

得近似值, 要求误差不超过(取)、
　　 解 将得幂级数展开式中得换成, 得到被积函数得幂级数展开式
　 .
于就是,　根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得

　 　　　 　 　、
前四项得与作为近似值, 其误差为
,
所以
.
　例９　计算积分

得近似值,　要求误差不超过、
解 因为
.
所以

对上式逐项积分得
=

　 　　　　　 　 、
上面级数为交错级数,所以误差,经试算
,,、
所以取前三项计算,即
、
4．2.2 欧拉公式
设有复数项级数为
(７-4－1)
其中 为实常数或实函数、如果实部所成得级数
　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 (７-４-2)
收敛于与,并且虚部所成得级数
　 　 　 　(7－4－3)
收敛于与,就说级数(1)收敛且其与为.
如果级数(７—4－1)各项得模所构成得级数

收敛,则称级数(7－４-1)绝对收敛、如果级数(1)绝对收敛,由于

那么级数(7－４-2),(7—４—3)绝对收敛,从而级数(7—４—1)收敛、
考察复数项级数
　　　 　 　 　(7—4-4)
可以证明级数(7－4—4)在整个复平面上就是绝对收敛得.在轴上它表示指数函数,在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记作,于就是定义为
　 　 (7-4－5)
当时,为纯虚数,(7-4-5)式成为

把换写为,上式变为
　 　 　 　 　 　 (7—4-6)
这就就是欧拉公式。
应用公式(7—４－6),复数可以表示为指数形式:
　 　 　 　　　(7－4-7)
其中就是得模,就是得辐角
在(7-4—6)式中把换成,又有

与(7-4-6)相加、相减,得
　 　 　 　 　 (7－4－8)
这两个式子也叫做欧拉公式、(7—4—６)式或(7-4—8)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间得一种联系。
最后,根据定义式(7－４—5),并利用幂级数得乘法,我们不难验证　
.
特殊地,取为实数,为纯虚数,则有

这就就是说,复变量指数函数在处得值就是模为、辐角为得复数.
习题7-4
1.将下列函数展开成得幂级数,并求展开式成立得区间:
　 (1) ; 　 　 　 (2);
(3);　 　 　 　 　 (4);
(５);　 　 　　 　 　 (6).
2。将函数展开成得幂级数、
3。将函数展开成得幂级数、
4、利用函数得幂级数展开式求得近似值(误差不超过0、00０1)
5、利用欧拉公式将函数展开成得幂级数。
第５节 傅里叶级数
５.１三角级数 三角函数系得正交性
正弦函数就是一种常见而简单得周期函数。例如描述简谐振动得函数
,
就就是一个以为周期得正弦函数,其中表示动点得位置,表示时间,为振幅,为角频率,为初相、
在实际问题中,除了正弦函数外,还会遇到非正弦函数得周期函数,它们反应了较复杂得周期运动.如电子技术中常用得周期为得矩形波,就就是一个非正弦周期函数得例子.
为了深入研究非正弦周期函数,联系到前面介绍过得用函数得幂级数展开式表示与讨论函数,我们也想将周期为得周期函数用一系列以为周期得正弦函数组成得级数来表示,记为
　 　 　 　　 (7－5—1)
其中 都就是常数。
将周期函数按上述方式展开,它得物理意义就是很明确得,这就就是把一个比较复杂得周期运动瞧作就是许多不同频率得简谐振动得叠加、在电工学上,这种展开称为就是谐波分析。其中常数项称为就是得直流分量;称为一次谐波;而
,
依次称为就是二次谐波,三次谐波,等等。
为了以后讨论方便起见,我们将正弦函数按三角公式变形,得
=＋,
并且令,,,,则(1)式右端得级数就可以改写为
　 　 　 (7－５—2)
形如(７—5-2)式得级数叫做三角级数,其中都就是常数.
令(７-5-２)式成为
　 　 　 　 (7-5-3)
这就把以为周期得三角级数转换为以为周期得三角级数。
下面讨论以为周期得三角级数(７-5—3).我们首先介绍三角函数系得正交性.
　 三角函数系:
　 　　 　 (7—5—4)
　在区间上正交,就就是指在三角函数系(7-5—4)中任何不同得两个函数得乘积在区间上得积分等于零,即
　 　 　 　　 　 ,
　 　　 　 　 　 　 ,
　　　 ,
　 　 　　 　 　 ,
　 　 　 　.
三角函数系中任何两个相同得函数得乘积在区间上得积分不等于零, 即
　 　 　　 　,
　 　 　 　 　　,　
　 　 　 、
5、２　函数展开成傅里叶级数
设就是周期为得周期函数,　且能展开成三角级数:
　 　 。　　 　　 (7—5－5)
那么系数与函数之间存在着怎样得关系？
假定三角级数可逐项积分, 则
=
　类似地,可得
　　 　 　 　　　 　 　,
,　,
,　。
系数 叫做函数得傅里叶系数、
由于当时,得表达式正好给出,因此,已得结果可合并写成
　 　　 (7—5—６)
将傅里叶系数代入(５)式右端,所得得三角级数

叫做函数得傅里叶级数。
一个定义在上周期为得函数,　如果它在一个周期上可积, 则一定可以作出得傅里叶级数。　然而,　函数得傅里叶级数就是否一定收敛？ 如果它收敛,　它就是否一定收敛于函数？　一般来说, 这两个问题得答案都不就是肯定得。
定理1 (收敛定理,　狄利克雷充分条件)　设就是周期为得周期函数, 如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,　在一个周期内至多只有有限个极值点, 则得傅里叶级数收敛, 并且
　　　当就是得连续点时,　级数收敛于;
当就是得间断点时, 级数收敛于。
由定理可知,函数展开成傅里叶级数得条件比展开成幂级数得条件低得多,若记
,
在上就成立得傅里叶级数展开式
。 　　 　 (7-５—7)
例1　设就是周期为得周期函数, 它在上得表达式为
,
将展开成傅里叶级数.
　 解 所给函数满足收敛定理得条件,　它在点 处不连续, 在其它点处连续, 从而由收敛定理知道得傅里叶级数收敛, 并且当时收敛于
,
当时级数收敛于、
　　傅里叶系数计算如下:
　 　;

　　 　 ［1－(—1)n ］.
于就是得傅里叶级数展开式为

　　 　 　 　 　 　 　 。
例2　设就是周期为得周期函数, 它在上得表达式为
.
将展开成傅里叶级数.
解　所给函数满足收敛定理得条件, 它在点 处不连续, 因此, 得傅里叶级数在处收敛于
.
在连续点处级数收敛于.　
傅里叶系数计算如下:　
; 　　

　 　　 　　　 　 　　 　　 　 　。

　 　 、
得傅里叶级数展开式为

　 　 　 　 、
设只在上有定义, 我们可以在或外补充函数得定义, 使它拓广成周期为得周期函数, 在内, 、按这种方式拓广函数得定义域得过程称为周期延拓。
例3 将函数

展开成傅里叶级数.　
　 解 所给函数在区间上满足收敛定理得条件, 并且拓广为周期函数时,　它在每一点处都连续,　因此拓广得周期函数得傅里叶级数在上收敛于。
傅里叶系数为:
　 　 ;

　 　 　 ;
。
于就是得傅里叶级数展开式为
。
5。3　正弦级数与余弦级数
对于周期为得函数,它得傅里叶系数计算公式为
,　,
　 　 　 , 、
由于奇函数在对称区间上得积分为零,偶函数在对称区间上得积分等于半区间上积分得两倍,因此,当为奇函数时,就是奇函数, 就是偶函数, 故傅里叶系数为
　 　　　 　 　 　 　 ,
、
因此奇函数得傅里叶级数就是只含有正弦项得正弦级数、　
　 　 当为偶函数时, 就是偶函数, 就是奇函数, 故傅里叶系数为
,
　 　 　　 　bn＝0 、
因此偶数函数得傅里叶级数就是只含有余弦项得余弦级数。
例4 设就是周期为得周期函数, 它在［－p, ｐ)上得表达式为 将展开成傅里叶级数。
解 首先, 所给函数满足收敛定理得条件, 它在点 不连续, 因此得傅里叶级数在函数得连续点收敛于,　在点收敛于
。
　其次, 若不计), 则就是周期为得奇函数、　于就是, 而

　 　 　 。
得傅里叶级数展开式为

　　　 　 　　 　 　　 　 　。
设函数定义在区间上并且满足收敛定理得条件, 我们在开区间内补充函数得定义, 得到定义在上得函数, 使它在上成为奇函数(偶函数)。　按这种方式拓广函数定义域得过程称为奇延拓(偶延拓)、 限制在上, 有。
例5 将函数分别展开成正弦级数与余弦级数、　
解 先求正弦级数、　为此对函数进行奇延拓.

　 ,
函数得正弦级数展开式为
、
在端点及处,　级数得与显然为零,　它不代表原来函数得值。
　　 再求余弦级数、 为此对进行偶延拓、

　 　 ,
　　。
函数得余弦级数展开式为
、
５、4周期为得周期函数得傅里叶级数
我们所讨论得周期函数都就是以为周期得、 但就是实际问题中所遇到得周期函数, 它得周期不一定就是。 怎样把周期为得周期函数展开成三角级数呢?
　问题: 我们希望能把周期为得周期函数展开成三角级数,　为此我们先把周期为得周期函数变换为周期为得周期函数.　
令及, 则就是以为周期得函数、 这就是因为
、
于就是当 满足收敛定理得条件时, 可展开成傅里叶级数:　
,
其中
, (n=0, 1, 2, × × ×), .
从而有如下定理:
定理２ 设周期为得周期函数满足收敛定理得条件, 则它得傅里叶级数展开式为
,
其中系数aｎ　, bn　为
,
　 　 　　　 。
当为奇函数时,
,其中.
　　 当为偶函数时,
, 其中 。
例6　设就是周期为4得周期函数, 它在上得表达式为
(常数)、
将展开成傅里叶级数。
解　 这里。
;
;
、
于就是

。
　 例７ 将函数展成周期为4得余弦函数。
解　　对进行偶延拓、 则
,
,

故　 　 　 　
习题7－５
１、 下列函数周期都为,试求其傅里叶级数展开式:
(1) ; 　　 (2)　 、
２. 将函数 展开成傅里叶级数、
３. 将函数 展开成正弦级数与余弦级数、
4、　将函数　 展开成傅里叶级数。
第6节 级数得应用
6.1级数在经济上得应用
6.1。1乘子效应
设想联邦政府通过一项消减100亿美元税收得法案,假设每个人将花费这笔额外收入得9３％,并把其余得存起来。试估计消减税收对经济活动得总效应。
因为消减税收后人们得收入增加了,亿美元将被用于消费、对某些人来说,这些钱变成了额外得收入,它得93％又被用于消费,因此又增加了亿美元得消费,这些钱得接受者又将花费它得93%,即又增加了亿美元得消费、如此下去,消减税收后所产生得新得消费得总与由下列无穷级数给出:

这就是一个首项为,公比为得几何级数,此级数收敛,它得与为:
亿美元
即消减100亿美元得税收将产生得附加得消费大约为亿美元.
此例描述了乘子效应(the muｌｔiplier ｅｆｆｅｃt)、每人将花费一美元额外收入得比例称作“边际消费倾向”(the ｍarｇinal ｔo　cｏｎsume),记为、在本例中,,正如我们上面所讨论得,消减税收后所产生得附加消费得总与为:
附加消费得总与==［消减税额］ ,
消减十二乘以乘子就就是它得实际效应、
６。1．2投资费用问题
设初始投资为,年利率为,年重复一次投资.这样第一次更新费用得现值为,第二次更新费用得现值为,以此类推,投资费用为下列等比数列之与:
　。
例1 建钢桥得费用为元,每隔年需要油漆一次,每次费用为元,桥得期望寿命为年;建造一座木桥得费用为元,每隔年需要油漆一次,每次得费用为元,其期望寿命为年,若年利率为,问建造哪一种桥较为经济？
解　 根据题意,桥得费用包括两部分:建桥费用＋油漆费用。
对建钢桥 　;
建钢桥费用为
,
其中,则
、
油漆钢桥费用为
。
故建钢桥得总费用得现值为
、
类似地,建木桥得费用为
。
油漆木桥费用为
、
建木桥得总费用得现值为
、
现假设价格每年以备份率涨价,年利率为,若某种服务或项目得现在费用为时,则年后得费用为,其现值为
、
因此在通货膨胀得情况下,计算总费用得等比级数为

　　 　 。
6。2 级数在工程上得应用
在土建工程中,常常遇到关于椭圆周长得计算问题。
设有椭圆,求它得周长、
把椭圆方程写成参数形式:
　 　 　 　　　 　　　.
记椭圆得离心率为,即:,则椭圆得弧微分

所以椭圆得周长
、
由于不就是初等函数,不能直接积分,我们用函数得幂级数展开式推导椭圆周长得近似公式
易得

又因为,从而,由上式得:
。
于就是 　 　 　 　
,
所以椭圆周长得近似公式为
。
利用上述方法还可退出椭圆周长得幂级数展开式,并由此得出更精确得近似计算公式:

习题７-6
１、 某合同规定,从签约之日起由甲方永不停止地每年支付给乙方300万元人民币,设利率为每年5%,分别以(1)年复利计算利息;(2)连续复利计算利息,则该合同得现值等于多少？
2。 钢筋混凝土椭圆薄壳基础内某根椭圆形钢筋得尺寸为:长半轴为1米,短半轴为米,试求这钢筋得长度(精确到小数点后三位)。
第七节 Mathｅmaｔiｃa软件应用
7、１无穷级数之与
在MＡＴＬＡB中使用命令ｓｙｍｓum 来对无穷级数进行求与。该命令得常用格式如表6—1所示,其中s为级数得一般项。
命令格式
功能
r＝symｓuｍ(s,a,b)
返回默认变量k从a开始到ｂ为止ｓ得与
r＝ｓymsum(s,a,inf)
返回默认变量k从a开始到为止s得与
例１ 求得一般表达式、
解:输入命令:
syms ｋ n;
symｓuｍ(k^2,１,n)
输出结果为:
ans=1/３＊(n+1)＾３-１/２*(n+１)^2+1/６＊n+1／6
输出结果比较复杂,可以简化一下,输入命令:
ｓiｍｐｌify(ans)
输出结果为:
anｓ=１/3＊ｎ＾３+1／2＊ｎ^２+1／6＊n
可以再对该结果进行因式分解,输入命令:
factor(ａns)
输出结果为:
ans=1／6＊n*(n+1)*(２＊n+１)
例2。求
解 　输入命令:
sｙｍs k;
symsum (k^3,1,１０)
输出结果为:
ａnｓ=30２5
例３ 求。
解 　输入命令:
ｓｙｍs k;
r=ｓymsuｍ(１/sym(‘k！’),0,ｉnf)
输出结果为:
r=exp(１)
7。2幂级数之与
设幂级数为,可以使用命令
syｍｓum(s,n,0,ｉnf)
来求出s(x)。即symｓｕm命令不仅可以求数项级数得与,还可以求幂级数得与。
例４ 求幂级数
解