“费马点”与中考试题.pdf
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1、“费马点”与中考试题“费马点”与中考试题费马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之一 费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论:对于一个各角不超过 120的三角形,费马点是对各边的张角都是 120的点,对于有一个角超过 120的三角形,费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点 P 使它到ABC三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小?这就是所谓的费马问题图 1解析解析:如图 1,把APC 绕 A 点逆时针旋转 60得到APC,连接 PP则APP为等边三角形,AP=PP,PC=PC,所以 PA+PB+PC=PP+PB+PC点 C可看成是线段 A
2、C 绕 A 点逆时针旋转 60而得的定点,BC为定长,所以当 B、P、P、C 四点在同一直线上时,PA+PB+PC 最小这时BPA=180-APP=180-60=120,APC=A PC=180-APP=180-60=120,BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此,当ABC的每一个内角都小于 120时,所求的点 P 对三角形每边的张角都是120,可在 AB、BC 边上分别作 120的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P 点;当有一内角大于或等于 120时,所求的 P 点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变
3、换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例,供同学们学习参考例例 1 1(2008 年广东中考题)已知正方形ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26,求此正方形的边长1图 2图 3分析分析:连接AC,发现点E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形,只是背景不同解解如图 2,连接AC,把AEC 绕点 C 顺时针旋转 60,得到GFC,连接EF、BG、AG,可知EFC、AGC 都是等边三角形,则 EF=CE又 FG=AE,AE+BE+CE=BE+EF+FG(图 4)点 B、点 G 为定点(G 为点 A 绕 C 点顺时针旋
4、转 60所得)线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值,此时 E、F 两点都在 BG上(图 3)设正方形的边长为a,那么BO=CO=26a,GC=2a,GO=a2226a+a22 BG=BO+GO=点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为2 626a+a=2 6,解得a=222注注本题旋转AEB、BEC 也都可以,但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试例例 2 2(2009 年北京中考题)如图 4,在平面直角坐标系xOy中,ABC 三个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C 0,4 3,延长 AC 到点 D,使 CD=DEAB 交 BC 的延长线于点 E.(1)求 D
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