2013年高考文科数学上海卷-答案.pdf

-1-/9 2013 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）答案解析 一、填空题 1.【答案】10,2【解析】1(21)00,2xxx【提示】根据两数相除商为负，得到x与21x异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.【考点】其他不等式的解法 2.【答案】15【解析】123423232()3015aaaaaaaa【提示】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得1423aaaa，结合已知条件可求23aa【考点】等差数列的性质，等差数列的通项公式 3.【答案】2【解析】222(1)immm是纯虚数2220210mmmm 【提示】根据纯虚数的定义可得221010mm，由此解得实数 m 的值【考点】复数的基本概念 4.【答案】1【解析】22021 1xxx已知，又 11 1xyxy.联立上式，解得21xy，【提示】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解 y 即可【考点】二阶行列式的定义 5.【答案】23【解析】222222 120cos223abcaabbcCCab【提示】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数【考点】余弦定理 -2-/9 6.【答案】78【解析】平均成绩4060758078100100【提示】设该年级男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试该年级学生平均分数为 a，根据“平均成绩 人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数【考点】众数，中位数，平均数 7.【答案】2【解析】522 57155()10110rrraaxCxxrC axx ，5102aa，【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r 项，令x的指数为 7 求得7x的系数，列出方程求解即可【考点】二项式系数的性质 8.【答案】3log 4【解析】399133131333 1034log 43131xxxxxxxx 【提示】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值【考点】函数的零点 9.【答案】79【解析】217cos cossin sincos()cos2()2cos()139xyxyxyxyxy .【提示】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos()xy的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos()xy的值代入计算即可求出值【考点】两角和与差的余弦函数，二倍角的余弦 10.【答案】3【解析】由题知3tan363rllr【提示】过 A 作与 BC 平行的母线 AD，由异面直线所成角的概念得到OAD为6 在直角三角形 ODA 中，直接由cot6lr得到答案【考点】异面直线及其所成的角 -3-/9 11.【答案】57【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反 从 4 个奇数和 3 个偶数共 7 个数中任取 2 个，共有2721C 个.2 个数之积为奇数2 个数分别为奇数，共有246C.所以 2 个数之积为偶数的概率24276511217CPC 【提示】从 7 个球中任取 2 个球共有2721C 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有21134315CC C种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案【考点】古典概型及其概率计算公式 12.【答案】4 63【解析】解：如图，设椭圆的标准方程为22221xyab，由题意知242aa，4CBA，2BC，C点的坐标为(1,1)C，因点C在椭圆上，222(1)114b，243b，22248433cab，2 63c，则两个焦点之间的距离为4 63故答案为：4 63【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为22221xyab，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C 的坐标，再根据点 C 在椭圆上求得 b 值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 13.【答案】1,5【解析】考查均值不等式的应用 由题知，当0 x 时，221()92 9615aaf xxxaaaxx 【提示】由题设0a，若291axax对一切正实数 x 成立可转化为2min91axax，利用基本不等式判断出296axax，由此可得到关于 a 的不等式，解之即可得到所求的范围.【考点】基本不等式 14.【答案】5 -4-/9 【解析】根据对称性，当向量()()ijklaacc与互为相反向量，且它们的模最大时()()ijklaacc最小 这时iaAC，jaAD，kcCA，lcCB，2()()|)|5ijklijaaccaa【提示】如图建立直角坐标系不妨记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量1a，2a，3a分别为AB，AC，AD，以 C 为起点，其余顶点为终点的向量1c，2c，3c分别为CD，CA，CB再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算i()()jklaacc的值，从而得出i()()jklaacc的最小值【考点】平面向量数量积的运算 二、选择题 15.【答案】A【解析】由反函数的定义可知，0 x，22()13f xxx.选 A.【提示】根据反函数的性质，求1(2)f的问题可以变为解方程221(0)xx【考点】反函数，函数的值 16.【答案】B【解析】代值法，排除法：当1a 时，AR，符合题意；当2a 时，1,)(,1),2)BAAB R，符合题意综上，选 B 标准解法：1,)(,1)BaABAa R，由(1)()0 xxa当1a 时，xR，当符1a 合题意；当1a 时(,1,)xa ，11a 解得12a；当1a时(,1,)11xaaaa 综上2a，选 B【提示】当1a 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为R时的 a 的范围；当1a 时，易得AR，符合题意；当1a时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a的范围综上，得到满足题意的 a 范围【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 17.【答案】A【解析】便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件【提示】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 -5-/9 18.【答案】D【解析】椭圆方程为：22222211lim14414444nnxnyxyxyn 联立222222221()4224048(4)044xyxuxxuxuuuuxy 2222(4)08 2 2,2 2uuuu ，所以xy的最大值为2 2.选 D.【提示】先由椭圆221441xnyn得到这个椭圆的参数方程为：2cos14sinxyn（为参数），再由三角函数知识求xy的最大值，从而求出极限的值【考点】数列的极限，椭圆的简单性质 三、解答题 19.【答案】33O ABCV.3 3O ABCS.【解析】111333O ABCABCOABCVS三棱锥的体积 设O在面ABC中的射影为Q，BC的中点为E，则1OQ，33QE，在RtOQE中，222223421333OEOQEQOE 三棱锥OABC的表面积3333 32O ABCOBCABCBCSSSOE 所以，三棱锥OABC的体积33O ABCV，表面积3 3O ABCS【提示】根据题意画出图形，结合正三棱锥OABC的底面边长为 2，高为 1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 20.【答案】（1）证明：由题知，生产 a 千克该产品所需要的时间atx小时，所获得的利润2313100 511005ayxaxxxx（元），其中1x10.所以，生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a2135xx元.-6-/9 （2）由（1）知，生产 900 千克该产品即900a 千克时，获得的利润 21311100 900 590000 51 3yxxxx 由二次函数的知识可知，当1x=16，即6x 时，1190000 51 366y4500007500457500（元）所以，当生产速度为 6 千克/小时，这时获得最大利润为 457500 元【提示】（1）由题意可得生产 a 千克该产品所用的时间是ax小时，由于每一小时可获得的利润是3100 51xx 元，即可得到生产 a 千克该产品所获得的利润.（2）利用（1）的结论可得生产 1 千克所获得的利润为21390000 5xx，110 x进而得到生产 900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出【考点】函数模型的选择与应用，二次函数在闭区间上的最值 21.【答案】（1）不是奇函数，也不是偶函数.（2）20，21.【解析】（1）1时，()2sin()()2sin2sin22f xxF xf xfxxx，2sin2cos2 2sin4xxx 222 2sinTyx周期，是奇函数.4图像左移后得()2 2sin4f xx，既不是奇函数，也不是偶函数（2）2，将函数()yf x的图像向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数():yg x()2sin2f xx()12sin2166g xfxx 最小正周期，T 令1()0sin262f xx 在一个周期内最多有 3 个零点，最少 2 个零点 所以()yg x在区间,01a a，其长度为 10 个周期上，零点个数可以取 20，21 个【提示】（1）特值法：1时，写出()f x、()F x，求出4F、4F，结合函数奇偶性的定义可作出正确判断.（2）根据图象平移变换求出()g x，令()0g x 可得()g x可能的零点，而,01a a含有 10 个周期，分 a是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得()g x在,01a a上零点个数的所有可能值.【考点】函数sin()yAx的图象变换，函数奇偶性的判断，根的存在性及根的个数判断.-7-/9 22.【答案】（1）234202aaa，.（2）11122aa，或.（3）11a，且1na.【解析】（1）111234()2|.02,0,2nnnnaf aaaaaaa 由（2）123aaa，成等比2223221212|(2|)aaaaaaa，且212|aa 22111111(2|)2|2|(2)2|2|aaaaaa 分情况讨论如下：当120a时，2211111(2)2(2)1aaaaa，且12a 当120a时，222111111111(2)2(2)(4)2840442aaaaaaaaa 22111112840(2)2222aaaaa，且 综上，11a，或122a （3）假设存在公差为d的等差数列na满足题意，则：12|nnnnaaad N，2|nndaa讨论如下：当nam即数列na为常数数列时，0d，12211nnaaa 当数列na不是常数数列时0na，2020ndda所以不满足题意 综上，存在11a 的等差数列na，且1na 满足题意【提示】（1）由题意代入式子计算即可.（2）把2a，3a表示为1a的式子，通过对1a的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据1a，2a，3a成等比数列可得关于1a的方程，解出即可.（3）假设这样的等差数列存在，则1a，2a，3a成等差数列，即212aaa3，亦即111|222aaa（），分情况当12a 时当102a时当10a 时讨论，由（）式可求得1a进行判断；当10a 时，由公差2d 可得矛盾.-8-/9 【考点】等差关系的确定，数列的函数特性，等比关系的确定 23.【答案】（1）由1C方程：2212xy可知：22a，21b，2223cab，1(3,0)F 显然，由双曲线1C的几何图像性质可知，过1F的任意直线都与曲线1C相交从曲线2C图像上取点()0,1P，则直线1PF与两曲线12CC，均有交点这时直线方程为3(3)3303yxyx（2）先证明“若直线ykx与2C有公共点，则|1k”双曲线1C的渐进线：12byxxa 若直线ykx与双曲线1C有交点，则11k,22A 若直线ykx与双曲线2C有交点，则k(,1)(1,)B-所以直线ykx与2C有公共点，则|1k AB，直线ykx与曲线1C、2C不能同时有公共交点 所以原点不是“12CC型点”.（3）设直线l过圆2212xy内一点，则直线l斜率不存在时与曲线1C无交点 设直线l方程为：ykxm，则：222|12121mmkk 假设直线l与曲线2C相交上方，则1y.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(3,0)，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12CC型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率.（2）由直线ykx与2C有公共点联立方程组有实数解得到|1k，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与1C和2C有公共点.（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1yx与1yx 之间，进而说明当|1k 时过圆 2212xy内的点且斜率为k的直线与2C无公共点，当|1k 时，过圆2212xy内的点且斜率为k的直线与2C有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|1k 矛盾从而证明了结论 -9-/9 【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质