2013年高考理科数学山东卷-答案.pdf

1/13 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】由(3)(2i)5z，得5(2i)35i(2i)(2i)z，5iz，故选 D【提示】利用复数的运算法则求得 z，即可求得 z 的共轭复数z【考点】复数代数形式的四则运算 2.【答案】C【解析】当0 x，0y 时，0 xy；当0 x，1y 时，1xy；当0 x，2y 时，2xy；1x，0y 时，1xy；当1x，1y 时，0 xy；当1x，2y 时，1xy；当2x，0y 时，2xy，当2x，1y 时，1xy；当2x，2y 时，0 xy根据集合中元素的互异性知，B 中点的元素有0，1，2，1，2共 5 个【提示】依题意，可求得集合2,1,0,1,2B，从而可得答案【考点】集合的含义 3.【答案】A【解析】当0 x 时，21()f xxx，(1)2f而()f x为奇函数，(1)(1)2ff【提示】利用奇函数的性质，(1)(1)ff，即可求得答案【考点】函数的奇偶性 4.【答案】B【解析】如图所示，P 为正三角形111ABC的中心，设 O 为ABC 的中心，由题意知：POABC平面，连接 OA，则PAO即为 PA 与平面 ABC 所成的角在正三角形 ABC 中，3ABBCAC，则233 3(3)44S，1 1 194ABC A B CVSPO3PO又3313AO，tan3POPAOAO3PAO 故选 B 2/13 第 4 题图【提示】给出几何体的相关性质，求二面角的大小【考点】二面角，棱柱的体积 5.【答案】B【解析】A 选项得到sin2yx为奇函数；B 选项得到cos2yx为偶函数C 选项得到sin 24yx为非奇非偶函数D 选项得到sin2yx为奇函数故选 B【提示】通过得到是偶函数求平移的距离【考点】三角函数的平移问题 6.【答案】C【解析】画出如图可行域可知，由210380 xyxy，得(3,1)C当M与C重合时，OM的斜率最小，13OMk 第 6 题图【提示】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可【考点】二元线性规划求最值 7.【答案】A【解析】p是q的必要不充分条件，则q是p充分不必要条件 3/13 【提示】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 q 是p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案【考点】充分必要条件 8.【答案】D【解析】当2x 时，y=1，排除 C，当2x 时，1y，排除 B，当x 时，0y，排除 A 故选D【提示】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，则答案可求【考点】函数图象的判断 9.【答案】A【解析】设(3,1),P圆心(1,0)C，切点为 A，B，则 P，A，C，B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，四边形 PABC的外接圆的方程为2215(2)+24xy，圆 C：22(1)1xy，相减的230 xy，即为直线的方程【提示】给出直线和圆的位置关系，求直线的方程【考点】直线与圆的位置关系 10.【答案】B【解析】9 位数一共可以组成 900 个数，其中无重复的三位数为9 9 8648 （个），有重复数字的三位数有900648=252（个）【提示】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可【考点】排列组合的应用 11.【答案】D【解析】双曲线2:C2213xy，又焦点为(2,0)F，渐近线方程为33yx 抛物线方程1C：21(0)2yxpp，焦点为02pF，设00(,)M xy，则20012yxp12kk 201224opxppx 又1yxp，00133x xyxp，联立解的4 33p 【提示】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数21(0)2yxpp在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点 4/13 横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值【考点】圆锥曲线的综合问题 12.【答案】B【解析】2234(0,0,0)xxxyyxyz，22111434433xyxyxyzxxyyyx，当且仅当4xyyx时，即2xy时等号成立，此时222342zxxyyy，222122121+1122xyzyyyy，当1y 时，211xyz的最大值为 1【提示】依题意，当xyz取得最大值时2xy，代入所求关系式212xyz，利用配方法即可求得其最大值【考点】基本不等式最值 第卷 二、填空题 13.【答案】3【解析】第一次运行：1123F ，03 12F ，1 12n ，1113F，不满足要求，继续执行第二次运行：1235F，0523F，2 13n，1115F，满足条件结束运行，输出3n 【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n 的值【考点】循环结构的程序框图 14.【答案】13【解析】设3,2|1|2|21,123,1xyxxxxx 利用函数图象可知|1|2|1xx的解集为1,+)而在 5/13 3,3上满足不等式的 x 的取值范围为1,3，故所求概率为3 11333 【提示】本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间3,3的长度求比值即得【考点】解绝对值不等式、几何概型 15.【答案】712【解 析】+APAB AC，APBC，又B CA CA B，()(+)0ACABACAB.22+0ACAB ACAB ACAB，即14+13 2902()，即7 120，712【提示】利用AB，AC，表示BC向量，通过数量积为 0，求出 的值即可【考点】平面向量的四则运算 16.【答案】【解析】解：对于，由定义，当1a 时，1ba，故ln()ln()lnbbaab a，又lnlnbab a，故有ln()lnbaba；当1a 时，1ba，故ln()0ba，又1a 时ln0ba，所以此时亦有ln()lnbaba由上判断知正确；对于，此命题不成立，可令2a，13b，则23ab，由定义ln()0ab，ln+lnln2ab，所以ln()ln+lnabab；由此知错误；对于，当0ab时，1ab，此时llnn0aabb，当1ab时，lnlnlnlnnlaababb，此时命题成立；当1ab 时，+lnlnlnaba，此时aab，故命题成立；同理可验证当10ab时，lnlnlnabab成立；当1ab时，同理可验证是正确的，故正确；对于，可分1a，1b与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出是正确的 故答案为【提示】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 a，b 分类讨论，判断出每个命题的真假【考点】函数新定义 三、解答题 6/13 17.【答案】（）3a，3c （）10 227【解析】（）由余弦定理222+2cosbacacB，得22()2(1+cos)bacacB，又2b，6ac，7cos9B，所以9ac，解得3a，3c （步骤 1）（）在ABC中，24 2sin1cos9BB，由正弦定理得sin2 2sin3aBAb，因为ac，所以A为锐角 所以21cos1 sin3AA，因此10 2sin()sin coscos sin27ABABAB（步骤 2）【提示】（）利用余弦定理列出关于新，将 b 与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出 a，c，b 的值，与ac的值联立即可求出 a 与 c 的值即可；（）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由 a，b 及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦 18.【答案】（）因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB，所以EFDC，（步骤 1）又EFPCD平面，DCPCD平面，所以EFPCD平面，又EFEFQ平面，=EFQPCD GH平面平面，所以EFGH，（步骤 2）又EFAB，所以ABGH（步骤 3）（）解法一：在ABQ中，2AQBD，ADDQ所以=90ABQ，即ABBQ，因为PBABQ平面，所以ABPB，又BPBQB，所以ABPBQ平面 由（）知ABGH，所以GHPBQ平面，又FHPBQ平面，所以GHFH，同理可得GHHC，所以FHC为二面角DGHE的平面角（步骤 4）设2BABQBP，连接FC，在RtFBC中，由勾股定理得2FC，在RtPBC中，由勾股定理得5PC 又H为PBQ的重心，所以1533HCPC，（步骤 5）同理53FH 在FHC中，由余弦定理得552499cos5529FHC，即二面角DGHE的余弦值为45（步骤 6）7/13 解法二：在ABQ中，2AQBD，ADDQ，所以90ABQ 又PBABQ平面，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设2BABQBP，（步骤 4）则(1,0,1)E，(0,0,1)F，(0,2,0)Q，(1,1,0)D，(0,1,0)C，(0,0,2)P，所以(1,2,1)EQ ，(0,2,1)FQ，(1,1,2)DP ，(0,1,2)CP 设平面EFQ的一个法向量为111(,)mx y z，（步骤 5）由0m EQ，0m FQ，得1111120,20,xyzyz 取11y，得(0,1,2)m（步骤 6）设平面PDC的一个法向量为222(,)nx y z，由0n DP，0n CP，得2222220,20,xyzyz 取21z，得(0,2,1)n （步骤 7）所以4cos,5|m nm nm n，因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为45（步骤 8）【提示】（）由给出的 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到 DC 平行于 EF，再利用线面平行的判定和性质得到 EF 平行于 GH，从而得到ABGH；（）由题意可知 BA、BQ、BP 两两相互垂直，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 BABQ、BP的长度，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角DGHE的余弦值 8/13 【考点】二面角大小 19.【答案】（）427（）EX 79【解析】（）记“甲队以 3：0 胜利”为事件1A，“甲队以 3：1 胜利”为事件2A，“甲队以 3：2 胜利”为事件3A，由题意，各局比赛结果相互独立，故3128()327P A，22232228()133327P AC ，222342214()133227P AC 所以，甲队以 3：0 胜利、以 3：1 胜利的概率都为827，以 3：2 胜利的概率为427（步骤 1）（）记“乙队以 3：2 胜利”为事件4A，由题意，各局比赛结果相互独立，所以222442214()1133227P AC ，由题意，随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2，3，121216(0)(+)()+(27P XP A AP AP A），又34(1)(27P XP A），44(2)(27P XP A）3(3)1(0)(1)(2)27P XP XP XP X（步骤 2）所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1627 427 427 327 X 0 1 2 3 P 1627 427 427 327 9/13 因此1644370+1+2+3272727279EX （步骤 3）【提示】（）甲队获胜有三种情形，记“甲队以 3：0 胜利”为事件1A，“甲队以 3：1 胜利”为事件2A，“甲队以 3：2 胜利”为事件3A，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（）X 的取值可能为 0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可【考点】随机变量的期望与方差 20.【答案】（）21nan，*nN（）113+1494nnnR【解析】（）设等差数列na的首项为1a，公差为d 由4224,21nnSS aa得11114684,(21)22(1)1adadandand解得11a，2d 因此21nan，*nN（步骤 1）（）由题意知：12nnnT，所以2n时，112112+222nnnnnnnnnbTT 故1221221(1)24nnnnncbn，*nN，所以01231111110+1+2+3+(1)44444nnRn，则12311111110+1+2+(2)+(1)444444nnnRnn，(步骤 2)两式相减得 1231113111111113144+(1)(1)1444444433414nnnnnnnRnn 整理得113+1494nnnR 所以数列 nc的前n项和113+1494nnnR（步骤 3）【提示】（）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列na的通项公式；10/13 （）把na的通项公式代入12nnnT，求出当2n时的通项公式，然后由2nncb得数列 nc的通项公式，最后利用错位相减法求其前 n 项和【考点】等差数列等比数列的综合应用 21.【答案】（）2()(1 2)exfxx，由()0fx，解得12x，（步骤 1）当12x 时，()0fx，()f x单调递增；当12x 时，()0fx，()f x单调递减 所以，函数()f x的单调递增区间是1,2，单调递减区间是1,2，最大值为111e+22fc（步骤 2）（）令2()|ln|()|ln|exg xxf xxxc，(0,+)x（1）当(1,)x时，ln0 x，则2()lnexg xxxc，所以22e()e21xxg xxx因为210 x，2e0 xx，所以()0g x因此()g x在(1,+)上单调递增（步骤 3）（2）当(0,1)x时，ln0 x，则2()lnexg xxxc，所以22e()e21xxg xxx 因为22e(1,e)x，2e10 xx，所以2e1xx 又21 1x ，所以2e210 xxx，即()0g x，因此()g x在(0,1)上单调递减（步骤 4）综合（1）（2）可知当(0,)x时，2()(1)eg xgc当2(1)e0gc，即2ec时，()g x没有零点，故关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 0；（步骤 5）当2(1)e0gc，即2ec时，()g x只有一个零点，故关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 1；（步骤 6）当2(1)e0gc，即2ce时，当(1,)x时，由（）知 211()lnelneln12xg xxxcxcxc ，要使()0g x，只需使ln10 xc，即1(e,+)cx；当(0,1)x时，由（）知 211()lnelneln12xg xxxcxcxc ，要 使()0g x，只 需 使ln10 xc ，即 11/13 1(0,e)cx；所以2ec时，()g x有两个零点，故关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 2.（步骤 7）综上所述，当2ec时，关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 0；当2ec时，关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 1；当2ec时，关于x的方程|ln|()xf x的根的个数为 2.（步骤 8）【提示】（）利用导数的运算法则求出()fx，分别解出()0fx与()0fx即可得出单调区间及极值与最值；（）分类讨论：当1x 时，令2()lnexg xxxc，当01x时，令2()lnexg xxxc利用导数分别求出 c 的取值范围，即可得出结论【考点】函数零点的求解与判断，利用导数求函数单调区间、最值 22.【答案】（）由于222cab，将xc代入椭圆方程22221xyab，得2bya，由题意知221ba，即22ab又32cea，所以2a，1b 所以椭圆C的方程为2214xy(步骤 1)（）解法一：设000(,)(0)P x yy 又1(3,0)F，2(3,0)F，所以直线PF，2PF的方程分别为：12000000:(3)30,:(3)30.PFPFly xxyyly xxyy 由题意知000022220000|3|3|(3)(3)myymyyyxyx，由于点P在椭圆上，所以220014xy 所以2200|3|3|332222mmxx 因为33m，022x，（步骤 2）可得00+3333+2222mmxx所以034mx因此3322m（步骤 3）解法二：12/13 设00(,)P xy，当002x时，当03x 时，直线2PF的斜率不存在，易知13,2P或13,2P 若13,2P，则直线1PF的方程为4 330 xy（步骤 2）由题意得|3|37mm，因为33m，所以3 34m 若13,2P，同理可得3 34m （步骤 3）当03x 时，设直线1PF，2PF的方程分别为1(3)yk x，2(3)yk x，由题意知11222212|3|3|11mkkmkkkk，所以22122211(3)1(3)1mkmk，（步骤 4）因为220014xy并且0103ykx，0203ykx，所以222220000022222000004(3)438 316(34)(3)(3)4(3)438 316(34)xxxxxmmxxxxx，即00343334xmmx（步骤 5）因为33m，002x且03x 所以004+33+=343xmmx 整理得034xm，故302m且3 34m 综合可得302m 当020 x 时，同理可得302m 综上所述，m的取值范围是3 3,2 2（步骤 6）（）设000(,)(0)P x yy，则直线l的方程为00()yyk xx，联立2200+=14()xyyyk xx 整理得222222000000(14)+8()+4(2+1)0kxkyk x xykx yk x（步骤 7）由题意0，即2220000(4)+2+10 xkx y ky 13/13 又220014xy 所以222000016+8+0y kx y k x 故004xky，由（）知0001200033211+xxxkkyyy，（步骤 8）所以001212004211111+8yxkkkkkkkxy ，因此1211+kkkk为定值，这个定值为8（步骤 9）【提示】给出椭圆方程和约束条件的方程求解问题【考点】直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程及简单的几何性质