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20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（2727）一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知 AxN N*|x3，Bx|x24x0，则 AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4312（5 分）复数 za+bi（a，bR R）的虚部记作 Im（z）b，则 Im（A2B1C1）（）D23（5 分）“点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2 相切的（）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要224（5 分）如图，FI，F2是双曲线：2=1(0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位3于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A，APF1的内切圆与边 PF1切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（）A212B72C233D1945（5 分）已知 a（）Aacb13，blog23，clog46，则 a，b，c 的大小关系为（）DacbBabcCabc6（5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）AB第1 1页（共2121页）CD7（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的点 B（x2，y2）都在单位圆 O 上，AOx，=若2=312，则 x1的值为（）13A123526B123+5262C71D178（5 分）已知在ABC 中，ACB=，AB2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到PBC，设二面角 PBCA 大小为，PB 与平面 ABC 所成角为，PC 与平面 PAB 所成角为，若 0，则（）A 且 C 6且 3333B 且D 6且3333二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）(32)1，19（5 分）设函数()=(0，1)，下列关于函数的说法正确，1的是（）A若 a2，则 f（log23）33B若 f（x）为 R 上的增函数，则12C若 f（0）1，则=D函数 f（x）为 R 上的奇函数10（5 分）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖5第2 2页（共2121页）324音的人数占女生人数，若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生53可能有（）人附表：P（K2k0）k20.0503.84120.0106.635()附：=(+)(+)(+)(+)A25B45C60D7511（5 分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9 月C月跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳12（5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，则（）A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切C当=2时，|=2D|AB|的最小值为 4第3 3页（共2121页）9三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）已知1，2是夹角为 60的两个单位向量，=1 2，=1+2，若 则 m14（5 分）某次高二英语听力考试中有5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三个选项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分：甲乙丙1CCA2CAC3BAC4BBB5ACC得分432则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是15（5 分）正三棱锥的高为 1，底面边长为 26，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为22，0 116（5分）若函数（f x）是定义在R R上的偶函数，（f x+4）（f x），且()=，4 2，1 2则函数()=()1的零点个数为四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足（1）求 sin2A；（2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值18（12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2+kn+k（1）求an的通项公式；（2）若 bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn+119（12 分）已知椭圆 C：22113=3+22=1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0）（）求椭圆 C 的标准方程；（）过点F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点A 在直线 x4 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点，D 点的横坐标x0是否为定值？若是，请求出定值；第4 4页（共2121页）若不是，请说明理由20（12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC=3，E 为 CD 中点将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE（1）求证：平面 PAE平面 PBE；（2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值21（12 分）如图为某野生动物园的一角，KOM 内区域为陆地生物活动区，NOK 内区域为水上动物活动区域为了满足游客游览需要，现欲在 OM，ON 上分别选一处 A，B，修建一条贯穿两区域的直路 AB，AB 与 KO 相交于点 P若 PA 段，PB 段每百米修路费用分别为 1 万元和 2 万元，已知=6，OMOK，OP2 百米，设PAO（1）试将修路总费用 S 表示为 的函数 S（）；（2）求修路总费用 S（）的最小值22（12 分）已知函数 f（x）=1+()（1）若f（x）0 在（0，+）上恒成立，求a 的取值范围，并证明：对任意的nN N*，都有 1+2+3+ln（n+1）；（2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数111第5 5页（共2121页）20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（2727）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知 AxN N*|x3，Bx|x24x0，则 AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解答】解：由题意得：AxN N*|x31，2，3，Bx|x24x0 x|0 x4，所以 AB1，2，3，故选：A2（5 分）复数 za+bi（a，bR R）的虚部记作 Im（z）b，则 Im（A2【解答】解：3131）（）B1=(3)(1)(1)(1)C1=422D2=2，又复数 za+bi（a，bR R）的虚部记作 Im（z）b，Im（31）1故选：B3（5 分）“点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2 相切的（）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要【解答】解：由点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1，|a2|1，解得 a1 或 3由圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2 相切，可得|a2|1，解得 a1 或 3因此“点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2相切的充要条件故选：C224（5 分）如图，FI，F2是双曲线：2=1(0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位3于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A，APF1的内切圆与边 PF1切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（）第6 6页（共2121页）A2B7192C233D4【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ）=12(1 2)=，a4，b=3，c=19，所以双曲线的离心率为：=194故选：D5（5 分）已知 a（112）3，blog23，clog46，则 a，b，c 的大小关系为（AacbBabcCabcDacb【解答】解：因为函数 ylog2x 为（0，+）上的增函数，clog46=1226=2629=log23b，又 1log2226=c，又因为 y=(12)为 R 上的减函数，a=(1112)3(2)0=1，acb，故选：D6（5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（）AB第7 7页（共2121页）CD【解答】解：因为对于任意的 xR R，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B，由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D，故选：C7（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的点 B（x2，y2）都在单位圆 O 上，AOx，=3 若2=13，则 x1的值为（）12A123526123+5B26C71D17【解答】解：由三角函数的定义有x1cos，2=(+2+3)=(+3)=12()，13，因为 B 点在第二象限内，所以(+)=33335，13333所以1=(+)=(+)+(+)=511231235+=13213226故选：A8（5 分）已知在ABC 中，ACB=2，AB2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到第8 8页（共2121页）PBC，设二面角 PBCA 大小为，PB 与平面 ABC 所成角为，PC 与平面 PAB 所成角为，若 0，则（）A 3且 3C 6且 33B 3且3D 6且33【解答】解：在ABC 中，ACB=2，AB2BC，可设 BCa，可得 ABPB2a，ACCP=3a，过 C 作 CH平面 PAB，连接 HB，则 PC 与平面 PAB 所成角为 CPH，且 CHCBa，sin=3；3由 BCAC，BCCP，可得二面角 PBCA 大小为，即为ACP，设 P 到平面 ABC 的距离为 d，由 BC平面 PAC，且 VBACPVPABC，即有 BCSACP=dSABC，31133即 a 3a3asin=d 3aa33221111解得 d=3sin，则 sin=即有 另解：由 BCAC，BCCP，可得二面角 PBCA 大小为，即为ACP以 C 为坐标原点，CA 为 x 轴，CB 为 z 轴，建立直角坐标系Oxyz，可设 BC1，则 ACPC=3，PBAB2，可得 P（3cos，3sin，0），过 P 作 PMAC，可得 PM平面 ABC，PBM，sin=322，33322，3第9 9页（共2121页）可得；过 C 作 CN 垂直于平面 PAB，垂足为 N，则CPN，sin=333故选：B33二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）(3 2)1，19（5 分）设函数()=(0，1)，下列关于函数的说法正确，1的是（）A若 a2，则 f（log23）33B若 f（x）为 R 上的增函数，则12C若 f（0）1，则=2D函数 f（x）为 R 上的奇函数【解答】解：依次分析选项：3第1010页（共2121页）对于 A，若 a2，f（x）=1，12，1，则 f（log23）=223=3，A 正确；3 203对于 B，若 f（x）为 R 上的增函数，则有1，解可得 1a2，B 正确；2 2 (3 2)1，1，1对于 C，函数()=(0，1)，当 x1 时，f（x）（32a）x1，有 f（0）1 恒成立，不能确定 a 的值，C 错误；(3 2)1，1对于 D，函数()=(0，1)，其定义域为R R，但f（0），110，不是奇函数，D 错误；故选：AB10（5 分）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖54音的人数占女生人数，若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生53可能有（）人附表：P（K2k0）k20.0503.84120.0106.635()附：=(+)(+)(+)(+)A25B45C60D75【解答】解：设男生可能有 x 人，依题意可得列联表如下；男生女生总计喜欢抖音453575不喜欢抖音152535总计xx2xxxxxxx若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K23.841，第1111页（共2121页）由 K2=2(4231)555573 552=213.841，解得 x40.335，2由题意知 x0，且 x 是 5 的整数倍，所以 45，60，和 75 都满足题意故选：BCD11（5 分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在9 月C月跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳【解答】解：根据题意，依次分析选项：在 A 中，2 月跑步里程比 1 月的小，7 月跑步里程比 6 月的小，10 月跑步里程比 9 月的小，故 A 错误；在 B 中，月跑步里程 9 月最大，故 B 正确；在 C 中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9 月，10 月，11 月，6 月，5 月，8月，1 月8 月恰好在中间位置，故其中位数为8 月份对应的里程数，故C 正确；在 D 中，1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确故选：BCD12（5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，第1212页（共2121页）则（）A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切C当=2时，|=2D|AB|的最小值为 4【解答】解：y24x 的焦点 F（1，0），准线方程为 x1，设 A，B，M 在准线上的射影为A，B，M，由|AF|AA|，|BF|BB|，|MM|=（|AA|+|BB|）=（|AF|+|FB|）=|AB|，可得线段 AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故 A 错；当直线 AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与 y 轴相切；当直线 AB 的斜率存在且不为 0，可设直线 AB 的方程为 ykxk，联立 y24x，可得 k2x2（2k2+4）x+k20，设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x22+42，x1x21，设 x13+22，x2322，9121212可得 M 的横坐标为 1+2MB 的中点的横坐标为（1+2，2521212，|BM|=1+2|x212+x2）22|，当 k1 时，MB 的中点的横坐标为 2，|MB|2，显然以线段 BM 为直径的圆与 y轴相交，故 B 错；以 F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为=设 A（1，），B（2，+），可得 1=可得12，1222，2=，11(+)1+32|+1|92=12+1+2=1，又|AF|2|FB|，可得|AF|3，|FB|=，则|AB|AF|+|FB|=，故 C 正确；显然当直线 AB 垂直于 x 轴，可得|AB|取得最小值 4，故 D 正确故选：CD第1313页（共2121页）三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5分）已知1，2是夹角为 60的两个单位向量，=12，=1+2，若 则 m1【解答】解：已知1，2是夹角为 60的两个单位向量，12=11cos60=而 =1122，=1+2，=（1 2）（12+m2）=12m2若 ，则 0，则 m1，故答案为：1+m1 2 2 1=1m0+014（5 分）某次高二英语听力考试中有5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三个选项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分：甲乙丙1CCA2CAC3BAC4BBB5ACC得分432则甲同学答错的题目的题号是3；此题正确的选项是A【解答】解：有题意知甲得四分，甲只错一个；若甲第 1 道错，甲的第 2，3，4，5 题对，乙第 1 道题也错，乙和甲的后四道题只有第4道题相同，故乙得 1 分，与题意矛盾，故甲第1 道题对；第1414页（共2121页）若甲第 2 道错，甲的第1，3，4，5 题对，丙第2 道题也错，丙和甲的其他四道题只有第4 道题相同，故丙得 1 分，与题意矛盾，故甲第2 道题对；若甲第 3 道错，甲的第1，2，4，5 题对，乙除了第3 题和甲相同的有两个题，但是乙得3 分，故乙第 3 题作对了，第三题选 A，则丙第 3 题错了，其他四道题和甲相同有 2 道，故丙得 2 分，与题意符合，故答案为：3，A15（5 分）正三棱锥的高为1，底面边长为26，则它体积为23；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为6 2【解答】解：底面等边三角形的面积 S=34(26)2=63，所以 V=1 6 3 1=23，3设内切球的球心为 O，半径为 r，则在 O 与底面的中心 M，BM=26 23=2，OEr，OA1r，侧面斜边的高 AB=1+2=3由AOEABM，得相似得3 1=1，得2=13，(3+2)=2，所以=6 2故答案为：6 222，0 116（5分）若函数（f x）是定义在R R上的偶函数，（f x+4）（f x），且()=，4 2，1 2则函数()=()3 1的零点个数为6【解答】解：因为 f（x）是定义在 R R 上的偶函数，f（x+4）f（x），即周期 T4，作出函数的图象，1第1515页（共2121页）g（x）0 可得 f（x）1+3，问题转化为求 f（x）与 y1+的交点个数，结合函数的图象可知，有6 个交点故答案为：6四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足（1）求 sin2A；（2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值【解答】解：（1）131=3=3，由正弦定理可得：cosA（3sinBsinC）sinAcosC，可得：3sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB，sinB0，可得 cosA=3，A（0，），sinA=12=3，sin2A2sinAcosA=9（2）SABC=bcsinA=2，bc3，1+22又cosA=3=，221224212b2+c2（b+c）22bc3，即（b+c）29，b+c318（12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2+kn+k（1）求an的通项公式；第1616页（共2121页）（2）若 bn=1，求数列bn的前 n 项和 Tn+1【解答】解：（1）由题意，设等差数列an的公差为 d，则Sn=2n2+（a12）n2n2+kn+k1=2故，解得 =4 12=0=0数列an的通项公式为 an2+4（n1）4n2（2）由（1）知，bn=(42)(4+2)=8（）+1212+1故 Tnb1+b2+bn=8（13）+8（）+8（35111111111111121111112=212+1）=8（13+35+212+1）=8（12+1）=4(2+1)221119（12 分）已知椭圆 C：+22=1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0）（）求椭圆 C 的标准方程；（）过点F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点A 在直线 x4 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点，D 点的横坐标x0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由【解答】解：（）椭圆 C：22+22=1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0），可得 c2，2a=42+(2)2+0+(2)2=42，即 a22，b=2 2=2，可得椭圆的方程为28+24=1；（）D 点的横坐标为定值3理由如下：直线 l 的斜率不为 0，设 AB：xmy2，联立椭圆方程 x2+2y28，可得（2+m2）y24my40，设 A（x1，y1），B（x2，y2），y1，y20，y1+y2=1+244，y y=，两式相除可得=1 22+22+212第1717页（共2121页）m，由 N（4，y1），可设 BN 的方程为 yy1=令 y0，可得 x0=21（x+4），2+4124112421(22)424=21212112+21421+2+21423132=3212121则 D 点的横坐标为定值320（12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC=，E 为 CD 中点将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE3（1）求证：平面 PAE平面 PBE；（2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值【解答】（1）证明：在BCE 中，BE222+22222cos12012，可得 BE23在ADE 中，ADDE，ADE60，ADE 为等边三角形2+(23)42在ABE 中，cosAEB=0，AEB90222322BEAE，又平面 ADE平面 ABCE，BE平面 PAE又 BE平面 PBE平面 PAE平面 PBE（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系E（0，0，0），P（1，0，3），B（0，23，0），C（1，3，0），=（2，3，3），=（0，23，0），=（1，0，3），设平面 PBE 的法向量为=（x，y，z），则=0，则 23y0 x+3z，取=（3，0，1），第1818页（共2121页）直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值=|=3102=302021（12 分）如图为某野生动物园的一角，KOM 内区域为陆地生物活动区，NOK 内区域为水上动物活动区域为了满足游客游览需要，现欲在 OM，ON 上分别选一处 A，B，修建一条贯穿两区域的直路 AB，AB 与 KO 相交于点 P若 PA 段，PB 段每百米修路费用分别为 1 万元和 2 万元，已知=，OMOK，OP2 百米，设PAO（1）试将修路总费用 S 表示为 的函数 S（）；（2）求修路总费用 S（）的最小值6【解答】解：（1）在 RtPOA 中，OP2，PAO，所以 PA=在POB 中，POB=6，所以=3，由正弦定理得：即()32，2=，所以6=，PB=1，()3所以 S（）=22+，(0，3)；(3)8(+222(+3)3)（2）S（）=+=，32(3)2(2+6)1令 tsin（+3），(0，3)，t(2，1，第1919页（共2121页）3sin（2+）sin2（+）cos2（+）2sin2（+）12t21，记 S（）f（t）=f（t）=8(42+3)(423)62632338，4233，1上为单调减函数，20 即 f（t）在（当 t1 即=时，S（）minf（1）8，所以修路费用的最小值为8 万元22（12 分）已知函数 f（x）=1+()（1）若f（x）0 在（0，+）上恒成立，求a 的取值范围，并证明：对任意的nN N*，都有 1+ln（n+1）；（2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数【解答】解：（1）由 f（x）0 在（0，+）上恒成立，可得a令 h（x）=1+，则()=，21+，12131当 x（0，1），h（x）0，函数单调递增，当x（1，+），h（x）0，函数单调递减，故 h（x）在 x1 处取得最大值 h（1）1，要使得 a1+，则 a1，1+显然当 a1 时，令 x=1，即 lnxx1 在 x1 时成立，+1+11则 ln1=，+12132所以 ln+1213+1+11+12+，1即1+(+1)，（2）由 f（x）g（x）可得，即 a=1+2(1)，1+2(1)，则()=(2 1)，21+=(1)2，令 t（x）=当 x（0，1）时，t（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，t（x）0，函数单调递减，第2020页（共2121页）故当 x1 时，t（x）取得最大值 t（1）1，因为 x0 时，h（x），x+时，t（x），当 a1 时，f（x）g（x）只有一个实数解，当 a1 时，方程 f（x）g（x）有 2 个不同的实数解，当 a1 时，f（x）g（x）没有实数根第2121页（共2121页）