2014年高考文科数学重庆卷-答案.pdf

1/8 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)答案解析 一、选择题 1.【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标.【提示】根据复数的几何意义，即可得到结论.【考点】复数的代数表示法及其几何意义 2.【答案】B【解析】将条件全部化成1ad和：112410adad，解得1d，于是7168aad【提示】由等差数列na中，12a，且有3510aa，利用等差数列的通项公式先求出公差 d，再求7a.【考点】等差数列的通项公式 3.【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000nn【提示】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数 抽取比例计算n值.【考点】分层抽样方法 4.【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()fxf xf x为奇函数；()()()fxf xf x为偶函数即可得到答案为 D【提示】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析()()fxf x是否成立，即可得答案.【考点】函数奇偶性的判断 5.【答案】C【解析】200223325kssksk ，55109sk ，1091917sk，结束循环.此时输出条件19s 所以选 C.【提示】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件10k，跳出循环体，计算输出S的值.【考点】程序框图 6.【答案】A【解析】根据复合命题的判断关系可知，命题p为真，命题q为假，所以只有pq为真.2/8 【提示】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论.【考点】复合命题的真假 7.【答案】C【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 2，上方的四棱锥是底面边长是 3 的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合.所以113 4 23 3 42423V .【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.【考点】由三视图求面积、体积 8.【答案】D【解析】由题意22222212(|)(2)43340PFPFaababbaba，同除以2a得23404bbbaaa或1（舍去），从而2e117ba.【提示】根据2212(|)3PFPFbab，由双曲线的定义可得22(2)3abab，同除以2a，即可求出双曲线的离心率.【考点】双曲线的简单性质 9.【答案】D【解析】42log(34)logabab，条件足以说明00ab，.经过化简得：34abab，即341ba，于是3434()()774 3baabababab.【提示】利用对数的运算法则可得34abab，即341ba再利用基本不等式即可得出.【考点】基本不等式，对数的运算性质 10.【答案】A【解析】函数()f x的图像如图所示.3/8 ()()g xf xmxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，可看成函数()f x与直线ymxm的交点，又知道该直线过定点(1,0).要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间.计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是91,20,42.【提示】由()()0g xf xmxm，即()(1)f xm x，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.【考点】分段函数的应用 二、填空题 11.【答案】3,5,13【解析】根据题意，集合3,4,5,12,13A，2,3,5,8,13B，A、B 公共元素为3,5,11，则3,51,3AB.【考点】交集及其运算【提示】分析集合 A、B 的公共元素，由交集的意义即可得答案.【考点】交集及其运算 12.【答案】10【解析】由向量的数量积与向量模长公式得221|cos60(2)(6)10102a ba b.【提示】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可.【考点】平面向量数量积的运算 13.【答案】22【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数()sin()f xx图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成()sin(2)f xx函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数()sin 2sin 263f xxx的函数图像，由题意得126，所以12sinsin626642f【提示】根据函数sin()yAx的图象变换规律，可得sin(2)sin3xx，可得21，且2 kkZ，由此求得、的值，可得()f x的解析式，从而求得6f的值.【考点】函数的图象变换 14.【答案】06a 或 4/8 【解析】将圆的方程转换成标准方程得，圆 C 的圆心为(12)，半径为 3，因为直线与圆 C 的交点 A，B 满足，所以ACB为等腰直角三角形，则弦 AB 的长度为3 2，且 C 到 AB 的距离为3 22，而由点到直线的距离公式得 C 到 AB 的距离为22|12|(1)1a ，所以22|12|3 22(1)1a 解得06a 或.【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论.【考点】直线和圆的方程的应用 15.【答案】932【解析】由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是x，小王到达学校的时间为y，则xy，满足(,)020,020 x yxy，那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到 5 分钟可以用不等式表示(,)020,020,5Ax yxyyx，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为2211592()2032P A.【提示】设小张到达学校的时间是x，小王到达学校的时间为y，()xy，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(,)020,020 x yxy是一个矩形区域，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件(,)020,020,5Ax yxyyx作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可.【考点】几何概型 三、解答题 16.【答案】（）na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，1(1)12(1)21naandnn 2(121)1 3(21)2nnnSnn ；（）由（）得，44716aS，244(1)0qaqS，即28160qq，2(4)0q，即4q 又 nb是首项为 2 的等比数列，112112 42nnnnbbq.1(1)2(41)13nnnbqTq【提示】（）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（）求出44aS和，代入244(1)0qaqS求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前 5/8 n项和公式得答案.【考点】数列的求和，等差数列的性质 17.【答案】（）由频率分布直方图可知组距为 10，(23672)101aaaaa，解得10.005200a.（）由图可知落在50,60)的频率为2100.1a；由频数=总体频率，从而得到该范围内的人数为20 0.12，落在60,70)范围内的频率为3100.15a；得该范围内的人数为20 0.153；（）记50,60)范围内 2 人分别为21AA，；60,70)范围内 3 人分别213BBB，；从 5 人中选 2 人的情况如下：12111213212223121323AAABABABA BA BA BBBBBB B，；此 2 人成绩都在60,70)范围内共有121323B BB BB B，3 种情况，总情况有 10 种；故概率为310【提示】（）根据频率分布直方图求出 a 的值；（）由图可知，成绩在50,60)和60,70)的频率分别为0.1和0.15，用样本容量 20 乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求.（）分别列出满足50,70)的基本事件，再找到在60,70)的事件个数，根据古典概率公式计算即可.【考点】古典概型及其概率计算公式，频率分布直方图 18.【答案】（）由题意可知：78()2cab，由余弦定理得：222222572122cos5252 22abcCab （）由22sincossin cos2sin22BAABC可得：1cos1cossinsin2sin22BAABC，化简得sinsincossinsincos4sinAABBBAC.因为sincossincossin()sinABABABC，所以sinsin3sinABC.由正弦定理可知：3abc.又因8abc，故6ab.由于19sinsin22SabCC，所以9ab，从而2690ab，解得33ab，.【提示】（）由8abc，根据522ab，求出 c 的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到3abc，与8abc联立求出ab的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入9sin2SC求出ab的值，联立即可求出 a 与 b 的值.【考点】余弦定理，正弦定理 6/8 19.【答案】（）对()f x求导得211()4afxxx，由()f x在点1,(1)f处的切线垂直于直线12yx知3(1)24fa ，解得54a.（）由()知53()ln442xf xxx，则2245()4xxfxx，令()0fx，解得1x 或5x.因1x 不在()f x定义域(0,)内，故舍去.当(0,5)x时，()0fx，故()f x在(0,5)内为减函数；当(5,)x时，()0fx，故()f x在(5,)内为增函数.由此可知()f x在5x 时取得极小值(5)ln5f.【提示】（）由曲线()yf x在点1,(1)f处的切线垂直于直线12yx可得3(1)24fa ，可求出 a的值；（）根据（）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数()f x的单调区间与极值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 20.【答案】（）因为PO底面ABCD，BC 底面ABCD，故BCPO.因为ABCD是以O为中心的菱形，23ABBAD，所以1sinOAB212OBAB.又因为123BMOBM，所以2232cos602OMOBOMOB OM，222OMBMOMBCOMBCPOPOPOMBCPOMOMPOMPOOMO平面平面平面（）由（）可知，|3OA，32OM，在ABM中，利用余弦定理可以求得212AM.设POa，可得22223PAAOPOa，222234PMPOOMa 又因为222PAPMAM，解得32a，即32PO.1111135 33 12222228ABMOOMBOABSSSOA OBBM OM 所以四棱锥PABMO的体积为15316P ABMOABMOVSPO【提示】（）连接 OB，根据底面是以 O 为中心的菱形，PO底面ABCD，23ABBAD，M 为BC 上一点，且12BM，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OMBCPOBC及，进而由线面 7/8 垂直的判定定理得到BCPOM平面；（）设POa，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥PABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 21.【答案】（）设12(,0)(,0)FcF c，其中222cab，由121|2 2|FFDF，得121|222 2FFDFc，从而1 22112122|222DF FSDFFFc，故1c，从而12|2DF，由112DFFF得22221129|2DFDFFF，因此23 2|2DF，所以122|2 2aDFDF，故2a，2221bac，因此，所求椭圆方程为：2212xy；（）设圆心在y轴上的圆C与椭圆2212xy相交，111(,)P x y，222(,)P xy是两个交点，1200yy，1 12FPF P，是圆C的切线，且1 122FPF P，由圆和椭圆的对称性，易知，2112xxyy，121|2|PPx，由（）知12(1,0)(1,0)FF，所以1 111(1,)FPxy，2211(1,)F Pxy，由1 122FPF P得：2211(1)0 xy，由椭圆方程得22111(1)2xx，即：211340 xx，解得，143x 或10 x.当10 x 时，12PP，重合，此时题设要求的圆不存在；当143x 时，过12PP，分别与1 122FPF P，垂直的直线的交点即为圆心C，设0(0,)Cy，由111CPF P得1011111yyyxx，111|1|3yx，053y 由1 122FPF P，是圆C的切线，且1 122FPF P，知12CPCP，又12|CPCP，故圆C的半径 112124 2|2|23CPPPx.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为2253239xy.8/8 【提示】（）设12(1,0)(1,0)FF，依题意，可求得1c，易求得121|2 2|FFDF，从而可得 122|2 2aDFDF，于是可求得椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆2212xy相交，111(,)P x y，222(,)P xy是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知2112xxyy，121|2PPx，由1 12 2FPFP，得143x 或10 x，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题