2013年高考文科数学广东卷-答案.pdf

1/7 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析 一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知0,2S，0,2T，故0ST，故选 A【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素【考点】集合的交集运算 2.【答案】C【解析】由题意知1010 xx ，解得1x 且1x，所以定义域为(1,1)(1,)【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域【考点】函数的定义域和集合的交集运算 3.【答案】D【解析】因为i(i)34ixy，所以i34ixy，根据两个复数相等的条件得：3y 即3y ，4x，所以xyi43i，ixy的模224(3)5；【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模【考点】复数的四则运算及复数的模 4.【答案】C【解析】51sinsincoscos()cos22225【提示】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化【考点】诱导公式 5.【答案】【解析】i1时，1(1 1)1s ；i2时，1(21)2s ；i3时，2(3 1)4s；i4时，4(41)7s；【提示】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案【考点】程序框图和流程图 6.【答案】B【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，2/7 所以该三棱锥的体积1 1111 23 23V；【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积 7.【答案】A【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线1yx，故l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，化为一般式为0 xyb；因为l与圆相切221xy相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离|12b，所以2b ，又因为相切与第一象限，所以0b，故2b，所以l的方程为20 xy；【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程 8.【答案】B【解析】若与相交，且l平行于交线，则也符合 A，显然 A 错；若ll，则，故 C 错；l，若l平行交线，则l，故 D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系【考点】空间中直线、平面之间的位置关系 9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系【解析】由焦点可知(1,0F）可知椭圆焦点在x轴上，由题意知1c，12ca，所以222213ab，故椭圆标准方程为22143xy；【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质 10.【答案】C【解析】对于，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确 对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a，|b，|c为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b和正数确定，则一定存在单位向量c和实数，使abc，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“以|a，|b，|c为三边长可以构成一个三角形”，这时单 3/7 位向量b和c就不存在，故错误因此选 C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断【考点】平面向量基本定理 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a，22a ，34a，48a ，所以；1234aaaa124815；【提示】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和【考点】等比数列的通项与性质 12.【答案】12【解析】因为2lnyaxx，所以12yaxx，因为曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴，所以1210 xya，所以12a；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,4)代入可知z的最大值为145z ；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值【考点】线性规划问题的最值求解 14.【答案】cos1sinxy，（为参数）【解 析】因 为 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为2 c o s；所 以2c o s2 c o s1c o s 2x，s i n2 s i nc o ss i n 2y；可变形得：cos21x，可变形得：sin2y；由22sin 2cos 21得：22(1)1xy；【提示】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程【考点】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化 15.【答案】212 4/7 【解 析】因 为 在 矩 形A B C D中，3AB，3BC，BEAC，所 以30BCA，所 以3c o s 3 032C EC B；在CDE中，因为60ECD，由余弦定理得：2222023 33 31212cos60(3)232224DECECDCE CD，所以212CD；【提示】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度【考点】正弦定理和余弦定理在几何中的应用 三、解答题 16.【答案】（1）22cos2cos21331242f；（2）因为3cos5，3,22，所以234sin155 ；2cos2cos2 cos cossin sin6612333f 31433 24 62525210；【提示】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值【考点】正弦函数和余弦函数的图象与性质 17.【答案】（1）重量在90,95)的频率200.450；（2）若采用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4 个，则重量在80,85)的个数5415 15；（3）设在80,85)中抽取的一个苹果为x，在95,100)中抽取的三个苹果分别为abc，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a，(,)x b，(,)x c，(,)a b，(,)a c，(,)b c6 种情况，其中符合“重量在80,85)和95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a，(,)x b，(,)x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85)和95,100)中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62P A；【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型【考点】频数分布表、频率、分层抽样，古典概型等概念的理解和相关运算 18.【答案】（1）证明：在图4中，因为ABC是等边三角形，且ADAE，所以ADAEABAC，DEBC；在 5/7 图5中，因为DGBF，/GEFC，所以平面DGE平面BCF，所以DEBCF平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC是等边三角形，且F是BC的中点，所以AFBC；在图5中，因为在BFC中，1222BFFCBC，所以222BFFCBC，BFCF，又因为AFCF，所以CFABF平面（3）因为AFCFAFBF，所以AF 平面BCF，又因为平面DGE平面BCF，所以AF 平面DGE；所以11 11 1 1 13333 23 2 3 3 6324F DEGDGEVSFGDG GE FG；【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积【考点】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质，平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法 19.【答案】（1）证明：因为21441nnSannN，令1n，则21244 1Sa，即22145aa，所以2145aa；（2）当2n时，2211444(41)4(1)1nnnnnaSSanan2214nnaa，所以221(2)nnaa，因为 na各项均为正数，所以12nnaa；因为2a，5a，14a构成等比数列，所以22145a aa，即2222(2 4)(6)a aa，解得23a，因为2145aa，所以11a，212aa，符合12nnaa，所以12nnaa对1n 也符合，所以数列 na是一个以11a 为首项，2d 为公差的等差数列，1(1)221nann；（3）因为111111(21)(21)2 2121nna annnn，所以122311111 111 111112 132 352 2121nna aa aa ann 1 1111111 1112 133521212 121212nnnnn；所以对一切正整数n，有1223111112nna aa aa a【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n项和，放缩法证明不等式的知识【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明 6/7 20.【答案】（1）因为抛物线焦点(0,)(0)Fc c 到直线:20l xy的距离为3 22 所以|2|3 222cd，又因为0c，所以解得1c，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24xy；（2）因为抛物线的方程为24xy，即214yx，所以12yx，设过00(,)P x y点的切线l与抛物线的切点坐标为21,4mm，所以直线l的斜率2104012ymkmxm，解得210004mxxy或220004mxxy；不妨设A点坐标为2111,4mm，B点坐标为2221,4mm，因为2004xy2200004(2)48xxxx 20(2)40 x，所以12mm；221112441201211()42ABmmkmmxmm；所以直线AB的方程为210111()42ymx xm，代入整理得：012yx；（3）A点坐标为2111,4mm，B点坐标为2221,4mm，F点坐标为(0,1)，因为0020 xy；所以221000004(2)4mxxyxx，222000004(2)4mxxyxx，1202mmx，12048mmx；因此=22222222221122121111|11114444AF BFmmmmmm 2222222212121212121211111111()1()()2 144164164mmm mmmmmmmmm 22220000001139(48)(2)2(48)1269216422xxxxxx，所以当032x 时，|AFBF取最小值92；【提示】由点到直线的距离公式建立关于 c 的方程，从而确定 c 并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于 y 的目标函数，从而确定函数的最小值【考点】点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，抛物线的定义和标准方程，导数的几何意义，直线与抛物线的交点，二次函数的最值以及待定系数法的应用 7/7 21.【答案】（1）因为32()f xxkxx，所以2()321fxxkx；当1k 时，2212()3213033f xxxx，所以()f x在R上单调递增；（2）因为2()321fxxkx，22(2)4 3 14(3)kk 当0 时，即30k时，()0fx，()f x在R上单调递增，此时无最小值和最大值；当0 时，即3k 时，令()0fx，解得22223363kkkkx或 22223363kkkkx；令()0fx，解得233kkx或233kkx；令()0fx，解得 223333kkkkx；因为223033kkkkk，2232333kkkkkk 作 f x的最值表如下：x k 23,3kkk 233kk 2233,33kkkk 233kk 23,3kkk k()fx 0 0 ()f x k 极大值 极小值 32kk【提示】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值【考点】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值