2016年高考文科数学全国卷1-答案.pdf

1/11 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 1）文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】B【解析】集合A与集合B的公共元素有 3，5，故3,5AB，故选 B【提示】直接利用交集的运算法则化简求解即可.【考点】集合的交集运算 2.【答案】A【解析】(1 2i)(i)2(1 2)iaaa，由已知，得212aa，解得3a，选 A【提示】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可.【考点】复数的概念，复数的乘法运算 3.【答案】C【解析】将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 6 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为23，选 C【提示】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.【考点】古典概型 4.【答案】D【解析】由余弦定理得2254223bb ，解得3b（13b 舍去），选 D【提示】由余弦定理可得222cos2bcaAbc，利用已知整理可得23830bb，从而解得 b 的值.【考点】余弦定理 5.【答案】B【解析】如图，在椭圆中，11242OFcOBbODbb，在RtOFB中，|OFOBBFOD，且222+abc，代入解得224ac，所以椭圆的离心率为12e，故选 B 2/11 【提示】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率.【考点】椭圆的几何性质 6.【答案】D【解析】函数2sin 26yx的周期为，将函数2sin 26yx的图像向右平移14个周期即4个单位，所得图像对应的函数为2sin 22sin 2463yxx，故选 D【提示】求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为2246ysinx，化简整理即可得到所求函数式.【考点】三角函数图像的平移 7.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18，即该几何体是78个球，设球的半径为R，则37 42 8R8 33V ，解得R2，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和，即22734221784，故选 A【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积.【考点】三视图，球的表面积与体积 3/11 8.【答案】B【解析】对于选项 A，lgloglgacca，lgloglgbccb，01c，lg0c，而0ab，所以lglgba，但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项 B，lgloglgcaac，lgloglgcbbc，两边同时乘以一个负数1lgc改变不等号方向，所以选项 B 正确；对于选项 C，利用cyx在第一象限内是增函数即可得到ccab，所以 C 错误；对于选项 D，利用xyc在R上为减函数易得abcc，所以 D 错误.所以本题选 B【提示】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案.【考点】指数函数，对数函数 9.【答案】D【解析】函数2|()2exf xx在2，2上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为2(2)8ef，208e1，所以排除 A，B 选项；当0,2x时，()=4exfxx有一零点，设为0 x，当0(0,)xx时，()f x为减函数，当0(,2)xx时，()f x为增函数.故选 D【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案.【考点】函数的图像与性质 10.【答案】C【解析】第一次循环：012xyn，第二次循环：1232xyn，第三次循环：362xy，此时满足条件2236xy，循环结束，输出362xy，满足4yx.故选 C【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【考点】程序框图 11.【答案】A【解析】如图，设平面11CB D平面11ABB Am，平面11CB D平面11ABB An，因为平面11CB D，所以mm，nn，则mn，所成角等于mn，所成的角.延长AD，则mn，所成的角即为1AB，BD所成的角，即为60，故mn，所成角的正弦值为32，选 A.4/11 【提示】画出图形，判断出 m、n 所成角，求解即可.【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角 12.【答案】C【解析】对2()1cos2cos03fxxax，xR恒成立，故221(2cos1)cos03xax，即245coscos033axx恒成立，即245033tat对1,1t 恒成立，构造245()33f ttat，开口向下的二次函数()f t的最小值的可能值为端点值，故只需保证1(1)031(1)03fafa，解得1133a.故选 C【提示】求出()f x的导数，由题意可得()0fx恒成立，设(11)tcosxt ，即有25430tat，对t 讨论，分 t=0，01t，10t ，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围.【考点】三角恒等变换，导数的应用 第卷 二、填空题 13.【答案】23【解析】由题意，02(1)0a bxx，23x 【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于 x 的方程，解方程便可得出 x 的值.【考点】向量的数量积，坐标运算 14.【答案】43 5/11 【解析】由题意，3sin45，4cos45，3sin sincos cos4454cos cossin sin445，解得1sin,5 27cos,5 2 所以1tan7，11tantan474tan1431tantan1147.【提示】由得范围求得4的范围，结合已知求得cos()4，再由诱导公式求得sin4及cos4，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan4的值.【考点】三角恒等变换，同角三角函数的基本关系 15.【答案】4【解析】圆 C：22+220 xyay，即 C：222+2xyaa，圆心为(0,)Ca，由|2 3AB，圆心 C到直线+2yxa的距离为|02|2aa，所以得2222 302+222aaa，则22a，所以圆的面积为2(+2)4a.【提示】圆 C：22220 xyay的圆心坐标为(0)a,，半径为2+2a，利用圆的弦长公式，求出 a 值，进而求出圆半径，可得圆的面积.【考点】直线与圆的位置关系，圆的面积 16.【答案】216000【解析】设生产产品 A产品 B 分别为 x、y 件，利润之和为 z 元，那么由题意得约束条件1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy目标函数2100900zxy.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 6/11 作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900zxy变形，得73900zyx，作直线：73yx 并平移，当直线73900zyx 经过点M时，z取得最大值.解方程组10390053600 xyxy，得M的坐标为(60,100).所以当60 x，100y 时，max2100 60900 100216000z.故生产产品 A，产品 B 的利润之和的最大值为216000元.【提示】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可【考点】简单线性规划 三、解答题 17.【答案】（）31nan（）13122 3n【解析】（）由已知，1 221+abbb，11b，213b，得12a，所以数列 na是首项为 2，公比为 3 的等比数列，通项公式为31nan（）由（）和1+1+n nnna bbnb得13nnbb，因此 nb是首项为 1，公比为13的等比数列.记 nb的前 n 项和为nS，则111313122 313nnnS【提示】（）用等差数列通项公式求；（）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.【考点】等差数列，等比数列 18.【答案】（）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.7/11 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE，所以AB 平面PED，故ABPG 又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.（）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又E F P B，所以EFPA EFPC，因此EF 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3CDCG 由题设可得PC 平面PAB，DE 平面PAB，所以DEPC，因此2133PEPGDEPC，由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得22 2DEPE，在等腰直角三角形EFP中，可得2EFPH 所以四面体PDEF的体积 V11422323 【提示】（）根据题意分析可得PDABC平面，进而可得PDAB，同理可得DEAB，结合两者分析可得ABPDE平面，进而分析可得ABPG，又由PAPB，由等腰三角形的性质可得证明；（）由线面垂直的判定方法可得EFPAC平面，可得F为E在平面PAC内的正投影.由棱锥的体积公式计算可得答案.【考点】空间几何体的线、面位置关系，几何体体积的计算 19.【答案】（）3800,19,()5005700,19,xyxxxN（）19（）19【解析】（）当19x时，3800y；当19x 时，3800500(19)5005700yxx，所以y与x的函数解析式为3800,19,()5005700,19,xyxxxN.8/11 （）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故n的最小值为 19.（）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3800 704300 204800 10)4000100.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(4000 904500 10)4050100.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.【提示】（）分 x19 及 x19，分别求解析式；（）通过频率大小进行比较；（）分别求出1920nn，时所需费用的平均数来确定.【考点】柱状图，频率，平均数 20.【答案】（）2（）没有.【解答】（）由已知得(0,t)M，2(,)2tPtp又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故2(,)tNtp，ON 的方程为pyxt，代入22ypx整理得2220pxt x，解得21220txxp，因此22,2tHtp 所以 N 为 OH 的中点，即|OH|2|ON（）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为2pytxt，即2()txytp.代入22ypx得22440ytyt，解得122yyt，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.【提示】（）先确定2(,)tNtp，ON的方程为pyxt，代入22ypx整理得2220pxt x，解得10 x，222txp，因此22(,2)tHtp，所以N为OH的中点，即|2|OHON.（）直线MH的方程为2pytxt，与22ypx联立得22440ytyt，解得122yyt，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点 9/11 【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的图像性质 21.【答案】（）（）设0a，则当(,1)x 时，()0fx；当(1,)x时，()0fx.所以 f（x）在(,1)单调递减，在(1,)单调递增.（）设0a，由()0fx 得1x 或ln(2)xa.若e2a ，则()(1)(ee)xfxx，所以()f x在(,)单调递增.若e2a ，则ln(2)1a，故当(,ln(2)(1,)xa 时，()0fx；当(ln(2),1)xa时，()0fx，所以()f x在(,ln(2),1,+a单调递增，在(ln(2),1)a单调递减.若e2a ，则l n(2)1 a，故当(,1)(ln(2),)xa 时，()0fx，当(1,l n(2)xa时，()0fx，所以()f x在(,1)，(ln(2),)a单调递增，在1,ln(2)a单调递减.（）（）设0a，则由（）知，()f x在(,1)单调递减，在1,单调递增.又e(1)(2)ffa，取 b 满足 b0 且ln2ab，则223()(2)(1)022af bba ba bb，所以()f x有两个零点.(ii)设 a=0，则()(2)exf xx，所以()f x只有一个零点.(iii)设 a0，若e2a ，则由(I)知，()f x在(1,)单调递增.又当1x时，()f x0，故()f x不存在两个零点；若e2a ，则由（）知，()f x在1,ln(2)a单调递减，在(ln(2),)a单调递增.又当1x时()f x0，故()f x不存在两个零点.综上，a 的取值范围为(0,).【提示】（）先求得()fx(1)(e2)xxa再根据 1，0，2a 的大小进行分类确定()f x的单调性；（）借助第（）问的结论，通过分类讨论函数的单调性，确定零点个数，从而可得 a 的取值范围为(0,).【考点】函数单调性，导数应用 22.【答案】（）设E是AB的中点，连结OE，因为OAOB，120AOB，所以OEAB，60AOE.在RtAOE中，12OEOD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心，设O是 A，B，C，D 四点所（）在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以/ABCD.10/11 【提示】（）设E是AB的中点，证明60AOE；（）设O是A BCD，四点所在圆的圆心，作直线OO，证明OOAB，OOCD，由此可证明/ABCD.【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 23.【答案】（）圆，222 sin10a （）1【解析】（）消去参数t得到1C的普通方程222(1)xya.1C是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将cos,sinxy代入1C的普通方程中，得到1C的极坐标方程为 222 sin10a.（）曲线12,C C的公共点的极坐标满足方程组222 sin10,4cos,a 若0，由方程组得2216cos8sin cos10a，由已知tan2，可得216cos8sin cos0，从而210a，解得1a（舍去），1a.1a 时，极点也为12,C C的公共点，在3C上.所以1a.【提示】（）把cos1sinxatyat 化为普通方程，再化为极坐标方程；（）通过解方程组可以求得.【考点】参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化 11/11 24.【答案】（）4,1,3()32,1,234,.2xxf xxxxx ()yf x的图像如图所示.（）由()f x的表达式及图像，当()1f x 时，可得1x 或3x；当()1f x 时，可得1=3x或5x，故()1f x 的解集为|13xx()1f x 的解集为1|3x x 或5x，所以|()|1f x 的解集为1|3x x 或13x或5x 【提示】（）化为分段函数作图；（）用零点分区间法求解.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法