(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题13 不等式、推理与证明(教师版).pdf
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1、专题 13不等式、推理与证明1【2019 年高考全国 I 卷理数】古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 15 10.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此此外,最美人体(225 1 若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是为 105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A165 cmC185 cm【答案】BB175 cmD190 cm【解析】方法一:如下图所示.依题意可知:AC5 1 AB5 1,,CD2BC2腿长为 105 cm 得,即CD105,AC 5 1CD 64.89,
2、2AD ACCD64.89105169.89,所以 AD169.89.头顶至脖子下端长度为26 cm,即 AB26,BC AB 42.07,5 12AC=AB+BC68.07,CD AC110.15,5 12AC+CD68.07+110.15=178.22,所以AD178.22.综上,169.89ADb,则Aln(ab)0Ca3b30【答案】C【解析】取a 2,b 1,满足a b,ln(a b)0,知 A 错,排除 A;因为9 3a 3b 3,知 B 错,3排除 B;取a 1,b2,满足a b,1 a b 2,知 D 错,排除 D,因为幂函数y x是增函数,B3aba b,所以a3b3,故选
3、C【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断4【2019 年高考北京卷理数】若,y 满足|x|1 y,且 y1,则 3+y 的最大值为A7C5【答案】C【解析】由题意B1D71 y,作出可行域如图阴影部分所示.y1 x 1 y设z 3x y,y z 3x,当直线l0:y z 3x经过点2,1时,取最大值 5.故选 C【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.5【2019 年高考北京卷理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度描述
4、两颗星的星等与亮度满足 m2m1=5E1lg,其中星等为m 的星的亮度为 E(=1,2)已知太阳的星等是 26.7,天狼星的星E22等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1C lg10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足m2m1B 10.1D 1010.15E1lg,令m2 1.45,m1 26.7,2E2lgE12E2m2m1(1.45 26.7)10.1,11010.1.E255E2故选:A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.x y 2 0,x y 2 0,6【2019 年高考天津卷理数】设变量x,y
5、满足约束条件,则目标函数z 4x y的最大值x1,y1,为A2C5【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y 4x z在y轴上的截距,故目标函数在点A处取得最大值.B3D6x y2 0,由,得A(1,1),x 1所以zmax 4(1)1 5.故选 C.【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围即:一画,二移,三求7【2019 年高考天津卷理数】设xR,则“x25x0”是
6、“|x 1|1”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式,可知0 x 5推不出x1 1,由x1 1能推出0 x 5,故“x25x0”是“|x 1|1”的必要不充分条件,故选 B.【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系判断条件.x3y4 08【2019 年高考浙江卷】若实数x,y满足约束条件3x y4 0,则z 3x2y的最大值是x y 0A1C 10【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。B 1D 12因为z 3x2y,所以y 31xz.22平移直线y 31xz可知,当该直线经过点 A
7、 时,取得最大值.22x3y4 0 x 2.联立两直线方程可得,解得3x y4 0y 2即点 A 坐标为A(2,2),所以zmax 32 22 10.故选 C.【名师点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,也有可能在解方程组的过程中出错.9【2019 年高考浙江卷】若aA 充分不必要条件C 充分必要条件【答案】A【解析】当a0,b0时,ab 2 ab当且仅当a b时取等号,则当ab 4时,有 0,b 0,则“ab 4”是“ab4”的B 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件2 ab ab 4,解得ab4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足a
8、b4,但此时a+b=54,必要性不成立,综上所述,“ab 4”是“ab4”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取a,b的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10【2018 年高考全国 I 卷理数】已知集合A x x x2 0,则R RA Ax 1 x 2Cx|x 1U x|x 2【答案】B【解析】解不等式得以,所以以得R RAx|1 x 2,故选 B11【2018 年高考全国 III 卷理数】设a log0.20.3,b log20.3,则Aa b ab 0Ca b 0 abBab a b 0Dab 0 a
9、 b2Bx 1 x 2Dx|x 1U x|x 2【答案】B【解析】a log0.20.3,b log20.3,0+1,即0 11+1111 log0.30.2,log0.32,log0.30.4,abab 0,0,0,即+0,故选 B.x y 5,2x y 4,12【2018 年高考天津卷理数】设变量x,y满足约束条件则目标函数z 3x 5y的最大值为x y 1,y 0,A6C21【答案】CB19D45x y 5,2x y 4,【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函x y 1,y 0数在点 A 处取得最大值,联立直线方程得x y 5,可得点A 的坐标为A2
10、,3,据此可知目标函x y 1数的最大值为:zmax 3x5y 3253 21.本题选择 C 选项.【名师点睛】求线性目标函数aby(ab0)的最值,当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,值最大,在 y 轴截距最小时,值最小;当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,值最小,在 y 轴上截距最小时,值最大.13【2018 年高考天津卷理数】设xR,则“|xA充分而不必要条件C充要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 ,由 .据此可知是的充分而不必要条件.故选 A.11|”是“x31”的22B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、
11、充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14【2018 年高考北京卷理数】设集合A(x,y)|x y 1,ax y 4,x ay 2,则A对任意实数 a,(2,1)AB对任意实数 a,(2,1)AD当且仅当a 3时,(2,1)A2C当且仅当 a0 时,(2,1)A【答案】D【解析】点(2,1)在直线x y 1上,ax y 4表示过定点(0,4),斜率为a的直线,当a 0时,xay 2表示过定点(2,0),斜率为1的直线,不等式xay 2表示的区域包含原点,不a等式ax y 4表示的区域不包含原点.直线ax y 4与直线xay 2互相垂直.显然当直线ax y 4的斜率a
12、 0时,不等式ax y 4表示的区域不包含点(2,1),故排除 A;点(2,1)333,当a ,即a 时,ax y 4表示的区域包含点(2,1),22233此时xay 2表示的区域也包含点(2,1),故排除B;当直线ax y 4的斜率a ,即a 22与点(0,4)连线的斜率为时,ax y 4表示的区域不包含点(2,1),故排除C,故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.15【2017 年高考全国 I 卷理数】设、y、为正数,且2x 3y 5z,则A23y5C3y52B523yD3y2
13、5【答案】Dxyz【解析】令2 3 5 k(k 1),则x log2k,y log3k,z log5k2x2lg klg3lg91,则2x 3y,3ylg23lg klg82x2lg klg5lg251,则2x5z,故选 D.5zlg25lg klg32【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的x,y,z,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及 0 与1 的对数表示.2x3y3016【2017 年高考全国 II 卷理数】设x,y满足约束条件2x3y30,则z 2x y的最小值是y30A15C1【答案】A【
14、解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,目标函数即:y 2x z,其中表示斜率为k 2的直线系与可行域有交点时直线的纵截距,数形结合可得目标函数在点B(6,3)处取得最小值,zmin 2(6)(3)15,故选 AB9D9【名师点睛】求线性目标函数aby(ab0)的最值,当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,值最大,在 y 轴截距最小时,值最小;当 b0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,值最小,在 y 轴上截距最小时,值最大17【2017 年高考全国 II 卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良
15、好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩 看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩根据以上信息,则A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人一人优秀一人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩则知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩故选D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结
16、论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)x 3,18【2017 年高考北京卷理数】若,y 满足x y 2,则+2y 的最大值为y x,A1C5【答案】D【解析】如图,画出可行域,B3D9z x 2y表示斜率为1的一组平行线,当z x 2y过点C3,3时,目标函数取得最大值2zmax 323 9,故选 D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划 解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为:一画、二移、三求常见的目标函数类型有:(1)截距型:形如z ax by.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by转
17、化为直线的斜截式:y azz(2)距 离 型:形 如x,通 过 求 直 线 的 截 距的 最 值 间 接 求 出 的 最 值;bbby b22(3)斜率型:形如z,而本题属于截距形式.z xay b;xa2x y 0,x2y2 0,19【2017 年高考天津卷理数】设变量x,y满足约束条件则目标函数z x y的最大值x 0,y 3,为A2332B1CD3【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z x y得y xz,作出直线y x,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在B(0,3)处取得,故zmax 03 3,选 D.【名师点睛】线性规划问题有三类:简单的线性规划,包括画
18、出可行域和考查截距型目标函数的最值,有时考查斜率型或距离型目标函数;线性规划逆向思维问题,给出最值或最优解个数求参数的取值范围;线性规划的实际应用x 020【2017 年高考浙江卷】若x,y满足约束条件x y3 0,则z x 2y的取值范围是x2y 0A0,6B0,4C6,)【答案】DD4,)【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点(2,1)时取最小值 4,无最大值,选 D【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式,“”取下方,“”取上方,并明确可行域对应的Ax By C 0转化为y kx b(或y kx b)是封闭区域还是开放区域、分界线是
19、实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围21【2017 年高考山东卷理数】若a b 0,且ab1,则下列不等式成立的是Aa1balog2abb21b log2abab2Bb1logab a2a2b1bb2aCaDlog2ab a【答案】B【解析】因为a b 0,且ab1,所以a 1,0 b 1,a1bb1,log2(ab)log22 ab 1,a22 a11 ab a log2(ab),所以选 B.bb【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函
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